PRACTICA. DESARROLLO DE LA OBTENCIÓN DEL MODELADO MATEMÁTICO DEL MOTOR

INTRODUCCIÓN

La importancia de conocer los parámetros del motor de corriente directa permite realizar un uso eficiente de la energía además de diseñar esquemas de control eficientes y robustos. Dentro de los resultados obtenidos se encuentra una novedosa metodología para el cálculo de los parámetros dinámicos del motor de corriente directa de imanes permanentes que ha sido pasada por alto en la literatura consultada.

El motor de corriente directa de imanes permanentes es ampliamente utilizado debido a su desempeño, pues es fácil controlar su velocidad y su posición, este dispositivo tiene características mecánicas y eléctricas que requieren del uso de ecuaciones diferenciales para poder ser modelado.

OBJETIVOS

Obtener el modelado matemático del motor mencionado.

Simular el modelado en Simulink y Simscape de Matlab, para identificar el análisis experimental con el analítico.

Vincular Arduino, o alguna otra tarjeta, con Simulink, para “Leer en tiempo real” los datos y aplicar alguna estrategia de control, ya sea un P, PI, PID o PD.

DESARROLLO DE LA OBTENCIÓN DEL MODELADO MATEMÁTICO DEL MOTOR

En las Figuras 1 y 2 se representan esquemáticamente un motor DC, la Reductora y la Carga del motor.

Haciendo análisis de mallas en el circuito de la imagen 1, la ecuación queda de la siguiente forma:

V(t) = Raia(t) + La(dia(t))/dt + Ea (t) … (1)

La ecuación de la sección mecánica del modelo del motor es la ecuación Ec.2.

Tm = J(dw(t))/dt + Bω(t) … (2)

Se proponen relaciones que permite la interacción de las ecuaciones Ec.1 y Ec.2. una de dichas relaciones propuestas es asumir que existe una relación proporcional entre el voltaje inducido en la armadura y la velocidad angular de giro del motor, esto de expresa en la ecuación Ec.3.

Ea = Kaω(t) … (3)

La siguiente relación mecánica-eléctrica establece que el torque mecánico es proporcional a la corriente eléctrica. Esto se aprecia en la ecuación Ec.4.

Tm(t) = Kmia(t) … (4)

Ya se cuenta con un conjunto de ecuaciones que permiten obtener una serie de funciones de transferencia muy útiles. Se inicia por obtener la transformada de Laplace de las ecuaciones Ec.1-Ec.4.

V(s) = RaIa(s) + LaSIa(s) + Ea(s) … (5)

Tm(s) = JSω(s) + Bω(s) … (6)

Ea = kaω(s) … (7)

Tm = KmIa(s) … (8)

Sustituyendo Ec.7 y Ec.8 en Ec.5 se puede obtener Ec.9

V(s) = (Ra + LaS)Tm(s) / Km + Kaω(s) … (9)

Sustituimos (6) en (9):

V(s) = (Ra + LaS)/Km [JSω(s) + Bω(s)] + Kaω(s)… (10)

Finalmente, la ecuación Ec.10 adquiere la forma de la función de transferencia Ec.11.

(ω(s))/(V(s))= Km/(LaJS^2+(RaJ+LaB)S+RaB+KmKa) … (11)

Modelado de espacio de estados

De (1) y (2) obtenemos el modelado de estado del motor.

Tm = J(dw(t))/dt + Bω(t) … (2)

(dw(t))/dt = (Kmia(t))/J - (Bω(t) )/J

V(t) = Raia(t) + La(dia(t))/dt + Ea (t) … (1)

(dia(t))/dt = V(t) -(Raia(t))/La - (Kaω(t))/La

d/dt [█(ω(t)@ia)] = [■(-B/J&Km/J@-Ka/La&-Ra/La)] [█(ω(t)@ia)] + [█(0@1/La)]v(t) y = [1 0] [█(w(t)@ia)]

Lo siguiente, es obtener los valores exactos de cada uno de los términos, de acuerdo a la hoja de datos del modelo de motor, para obtener la función de transferencia.

Los siguientes datos, fueron extraídos del catálogo Johnson Motor, tomando en cuenta el modelo del motor.

De donde podemos determinar que:

Resistencia dinámica = 10.513 Ω

Constante de torque = km = 0.03404 Nm/A

Torque del Motor = Tm = 11.7 m Nm

Corriente de arranque = 0.399

Por otro lado, los siguientes parámetros fueron obtenidos en base a mediciones y cálculos:

Inductancia de armadura = La = 6.8 mH

Resistencia de armadura = Ra = 6.5 Ω

Corriente (5 V) = 0.06 A

Revoluciones por minuto = rpm = 496

Fuerza contra electromotriz = Ea = 4.61V

Constante contra electromotriz =Ka = 0.03404 V / rpm

Constante de tiempo mecánica = tm = 11.05 mS*

Momento de inercia = Jm = 0.00000208 Kg.m2

Coeficiente de fricción viscosa = B = 0.0000038 Nm.S

Teniendo los datos, se hizo una comparación entre la función de transferencia obtenida por análisis con la función obtenida por el comando ss2tf en Matlab.

(ω(s))/(V(s))= Km/(LaJS^2+(RaJ+LaB)S+RaB+KmKa) … (11)

(ω(s))/(V(s))= (0.03404)/(0.000000014144S^2+0.000013545 S+0.0011834)

Dándole mejor forma:

(ω(s))/(V(s))= (2406674.208)/(S^2+957.65 S+83668)

Mientras que en Matlab nos dio los siguiente:

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