Pendulo Invertido

Control LQR para el doble integrador, usando Tarjeta de adquisición

Presentado Por:

Jorge Humberto Ramírez Jiménez

Cód. 1113786090

Cristian Camilo Posada Marín

Cód. 1094923221

Presentado a:

Ing. Hernán Felipe Arias

Curso:

Técnicas de Control Avanzadas

21 de Septiembre del 2013

Universidad del Quindío

Facultad de Ingeniería

Programa de Ingeniería Electrónica

Armenia, Quindío

Control LQR para el doble integrador, usando Tarjeta de adquisición

Presentado Por:

Jorge Humberto Ramírez Jiménez

Cód. 1113786090

Cristian Camilo Posada Marín

Cód. 1094923221

21 de septiembre del 2013

Universidad del Quindío

Facultad de Ingeniería

Programa de Ingeniería Electrónica

Armenia, Quindío

CONTENIDO

Pág.

RESUMEN

INTRODUCCIÓN

MÉTODOS E INSTRUMENTOS

TARJETA DE ADQUISICION

LABVIEW

MatLab

CIRCUITO ANALOGICO

DISCRETIZACION

CONTROL LQR 4

5

6

6

6

6

7

8

8

PROCEDIMIENTO

MODELADO

DISCRETIZACIÓN Y CONTROL LQR 10

10

11

RESULTADO Y ANÁLISIS 12

CONCLUSIONES

CONTENIDO DE FIGURAS

CONTENIDO DE ECUACIONES

BIBLIOGRAFÍA 16

17

17

18

RESUMEN

Para el desarrollo de esta práctica, se debe montar la planta (Doble integrador), usando los elementos con el valor numérico necesario para tener una ganancia de 1. Enseguida realizar la visualización de la planta, y luego realizar la discretización del sistema, usando la herramienta de MatLab, como lo es el c2d. Además de realizar el control LQR discreto, usando la función en MatLab denominada DLQR, y de esta forma hacer uso de las ganancias encontradas, para realizar la visualización del sistema en lazo cerrado.

Introducción

El presente reporte de laboratorio, se pretende dar a conocer el funcionamiento de una planta, como lo es el doble integrador, cuando esta se encuentra sin realimentación, es decir en lazo abierto, además de cómo es su comportamiento en lazo cerrado, en otras palabras con realimentación; donde esta retroalimentación o estas ganancias de la ley de control, son encontradas por medio de una técnica de control optimo, como lo es el LQR. Hay que tener en cuenta que el control se hace para la planta en tiempo discreto.

Además de este control, también se hace énfasis del circuito eléctrico de la planta, su comportamiento en herramientas computacionales, como lo es MatLab, también el uso de software de visualización, como lo es para este caso el Labview, realizando la visualización por medio del uso de tarjetas de adquisición de datos.

Además de realizar un control, esta práctica colabora con el entendimiento del uso de las tarjetas de adquisición, y de la relación con la herramienta computacional o software llamado Labview. De esta misma forma, se realiza una interacción entre la tarjeta y la visualización en el computador, es decir, se practica un control real, no realizando una simulación.

METODOS E INSTRUMENTOS

TARJETA DE ADQUISICION

Una tarjeta de adquisición, es una tarjeta capaz de tomar muestras de un sistema analógico, para capaz de generar datos, que puedan ser manipulados o que puedan ser analizados por medio de una visualización gráfica, o por medio de un audio, dependiendo de la señal que se desea analizar. En el caso de la tarjeta usada, es una NI 6013, es decir una National Instrument con la referencia 6013. Esta tarjeta consta de 68 pines, los cuales están configurados para su uso. (Ver datasheet).

En general, toma un conjunto de señales físicas y las digitaliza para su mejor adquisición.

LABVIEW

O Laboratory Virtual Instrumentation Engineering Workbench, es una plataforma virtual para diseñar sistemas, en un entorno de visual gráfica. Es recomendado para pruebas de control y de diseño, ya sea simulado como en este caso, o para aplicación real. El lenguaje de esta estructura es un lenguaje G, lo que significa que es una programación gráfica. Se puede decir que la interfaz de este programa es muy similar a la de simulink, pero obviamente tiene unas características diferentes, como es la interfaz gráfica que tiene con los dispositivos o instrumentos, o plantas que se estén controlando.

MATLAB

Es un lenguaje de alto nivel y es usado para el cálculo numérico, visualización en bloques o para la programación. Con esta herramienta se puede calcular, analizar, diseñar, programar. Aunque esta herramienta de software es más usada en el ámbito estudiantil como para cálculo o ayudas matemáticas, es importante saber que también tiene una característica como es para la programación. Matrix Laboratory lo que significan sus siglas.

CIRCUITO ANALOGICO

El doble integrador se monta de acuerdo a la configuración de un integrador con un amplificador operacional. Para este montaje se hará uso de un LF353, el cual sus pines se ven, en la figura 1. La configuración de un integrador se encuentra en la figura 2. Para hacer que la ganancia sea uno, se usa un capacitor de poliéster de 1uF y una resistencia de 1MΩ, la cual dará claramente uno la ganancia. En la figura 3. Se puede observar el circuito montado.

FIG.1 PINES DEL LF353

FIG.2 CONFIGURACION DE UN INTEGRADOR.

FIG.3 MONTAJE DOBLE INTEGRADOR.

DISCRETIZACION

Para discretizar un sistema, se puede hacer uso de la herramienta en MatLab, c2d, la cual pasa de continuo a discreto, para esta función es necesario ingresar las matrices a discretizar, así mismo como el tiempo de muestreo, el cual puede ser 10 veces más lejos al polo dominante.

Aunque existe un procedimiento matemático, solo se enfocara en que se realice con esta función.

CONTROL LQR

El Regulador cuadrático o como en sus siglas en Ingles Linear Quadratic Regulator (LQR), consisten en regular o seguir. Es decir consiste en colocar una ley de control que pueda llevar la planta desde un estado cualquiera hasta el origen o cero. Esto se aplica para tener una optimización del sistema, es decir para que el sistema responda de mejor forma, sin necesidad de que se presenten esos sobrepasos.

Este control lo que hace es mejorar el problema de optimización, en otras palabras tener buena velocidad de convergencia al estado deseado, con mínimo esfuerzo de control. Para esto se ubican unos polos en la parte imaginaria o lejos del eje imaginario, pero para cada caso se tendría comportamientos diferentes, como para el primero se tiene una respuesta lenta y además de que existiría inestabilidad, por su parte para el segundo caso, se puede decir que sería más rápido y además de que el esfuerzo de control es muy grande. Es con los anteriores inconvenientes que como Ingeniero se deben tomar adecuadamente.

De otra forma se puede definir el LQR de la siguiente manera:

Para un sistema

x ̇=Ax+Bu

Con una función de coste

Ecuación 1. Función de costo

J=1/2 X(tf)^T PX(tf)+1/2 ∫_to^tf▒(X^TQX+u^T Ru)dt

Donde u^T Ru es la restricción para que el esfuerzo no sea infinito.

La ley de control que minimiza el valor de costo es la de:

Ecuación 2. Ley de control

u=-kx

Donde k está definida por

Ecuación 3. Valor de k

k=R^(-1) B^T P

Y P en un tiempo continuo se resuelve por medio de la ecuación de Riccati

Ecuación 4. Ecuación de Riccati.

PA+A^T P-PBR^(-1) B^T P+Q=0

Donde P es una matriz de las mismas dimensiones de A.

A continuación se darán los pasos para aplicar el control LQR a un sistema.

Dejar el sistema en las variables de estado, puesto en forma

...