El péndulo invertido

ABSTRACT

An inverted pendulum is a physical device consisting in a cylinrical bar, free to oscillate around a fixed pivot. The pivot is mounted on a carriage, which in its turn can move on a horizontal direction. The carriage is driven by a actuator, which can exert on it a variable force. The bar would naturally tend to fall down from the top vertical position, which is a position of unsteady equilibrium.

The goal of the experiment is to stabilize the pendulum (bar) on the top vertical position. This is possible by exerting on the carriage through the actuator a force which tends to contrast the 'free' pendulum dynamics. The correct force has to be calculated measuring the instant values of the horizontal position and the pendulum angle (obtained e.g. through two potentiometers).

The system pendulum+cart+actuator can be modeled as a linear system if all the parameters are known (masses, lengths, etc.), in order to find a controller to stabilize it. If not all the parameters are known, one can however try to 'reconstruct' the system parameters using measured data on the dynamics of the pendulum.

PLANTAMIENTO DEL TEMA

¿Cómo realizar el diseño y simulación de un prototipo de péndulo invertido y el diseño del respetivo controlador para conservar la barra del péndulo perpendicular ante la presencia de perturbaciones, logrando su regreso a la posición inicial cuando se aplique una fuerza al sistema de desplazamiento?

Concretamente, se desea realizar la implementación de un controlador digital que permita la estabilización del péndulo en una posición vertical bajo el control del posicionamiento del carro en una respuesta más rápida y que produzca menos oscilación.

INTRODUCCIÓN

El péndulo invertido es conocido por ser uno de los problemas más importantes y clásicos de la teoría de control. Se trata de un control inestable y no lineal. A menudo, es utilizado como ejemplo académico, principalmente por ser un sistema de control más accesible, y por otro lado, permite mostrar las principales diferencias de control de bucle abierto y de su estabilización a bucle cerrado. Pese a existir diferentes técnicas a la hora de diseñar el regulador óptimo capaz de estabilizar el péndulo, no todas representan la mejor opción. En el presente trabajo se analizaran alguno de los métodos más conocidos.

Descripción del péndulo invertido

El péndulo invertido es un servo mecanismo que consta de un carro en el cual está montado un péndulo que puede girar libremente. El carro está controlado por un servomotor y su principal función es la de aplicar fuerzas al péndulo. Como la finalidad de este proyecto es dar la posibilidad de ejecutar el algoritmo de control en un sistema real (como, por ejemplo, un Segway), implica que el carro puede desplazarse sin limitación alguna, es decir, que si estuviese montado sobre un riel, ´este no tendría topes. Si se considera al péndulo separado del carro, ´este tiene dos puntos de equilibrio: uno estable, abajo; y otro inestable, arriba. El objetivo del control es cambiar la dinámica del sistema para que en la posición vertical, arriba, se tenga un punto de equilibrio estable. En otras palabras, la idea es encontrar la fuerza que ha de aplicarse al carro para que el péndulo no se caiga, incluso si se le perturba con un empujón tipo escalera o impulso.

OBJETIVOS

El proyecto que se presenta a continuación permite la simulación del comportamiento físico de un sistema dinámico que evoluciona con el tiempo. El objetivo es diseñar un sistema de control óptimo que permita estabilizar un péndulo invertido así como el desarrollo de una aplicación capaz de simularlo.

DESARROLLO

Un péndulo es uno de los juguetes más básicos para experimentar los conceptos de periodo y gravedad. ¿Qué sucede si la masa se une a una barra rígida y se pone al revés? Entonces se obtiene un péndulo invertido, un sistema aparentemente inestable que es un ejemplo clásico para el control automático.

Esquema de un péndulo invertido con movimiento horizontal.

Una de las claves del péndulo invertido es intentar controlar el movimiento de la masa moviendo el otro extremo de la barra. En el ejemplo del carrito se demuestra que la barra se puede mantener en posición vertical para una perturbación dada lo suficientemente pequeña.

Existe otra posibilidad, la de mantener la barra en posición vertical moviendo la base del péndulo también con una trayectoria vertical como se muestra en la figura siguiente:

Esquema de un péndulo invertido con movimiento vertical

En este caso, la masa tiene la siguiente posición:

La lagrangiana del sistema es entonces:

La lagrangiana del sistema es entonces:

Y la ecuación del movimiento:

El paso siguiente es suponer que el ángulo   se mantiene pequeño en cualquier instante.

Supuesto un movimiento armónico de la base del péndulo  , obtener el valor del parámetro   para el que el péndulo deja de ser estable.

Representar gráficamente el movimiento de la partícula respecto al tiempo adimensional   con k = 0.1 y k = 10. En todos los casos la longitud del péndulo será de 0.1 metro y la gravedad de 9.8 metros por segundo.

MODELADO MATEMÁTICO DEL PÉNDULO

El objetivo de la fase de modelado, es encontrar una expresión matemática que represente el comportamiento físico del sistema. Para modelar el sistema existen dos estrategias. La primera es tratar al sistema como un “caja negra” y realizar sobre ´el un conjunto de acciones (señales de entrada) observando cómo se comporta (estudiar las salidas) deduciendo un modelo matemático para este. Un ejemplo serıa la técnica de Ziegler-Nichols. La segunda consiste en estudiar los procesos físicos que tienen lugar en el sistema para deducir su ley de comportamiento. El resultado que se pretende es la identificacion del sistema a través de su función de transferencia.

ANÁLISIS DE LAS FUERZAS Y SISTEMA DE ECUACIONES

La mayor parte del éxito a la hora de diseñar un buen regulador pasa por tener un modelo del sistema correcto. Hallarlo es una tarea complicada, y por ello, a menudo es necesario recurrir a la sencillez. En el caso del péndulo, se consigue con el análisis por separado de cada uno de los cuerpos.

El péndulo invertido se puede concebir básicamente como un cuerpo rígido cuyo movimiento se limita a dos dimensiones. Las ecuaciones fundamentales de movimiento plano de un cuerpo rígido son:

X Fi = mai

X Fj = maj

X FG = Iαg

Sumando las fuerzas en el diagrama de cuerpo libre del carro en la dirección horizontal, se obtiene la siguiente ecuación del movimiento:

M¨ x + b˙ x + N = F

También se podría sumar las fuerzas en la dirección vertical, pero no se ganara ninguna información útil. Por otro lado, sumando las fuerzas en el diagrama de cuerpo libre del péndulo en la dirección horizontal, se puede obtener una ecuación para N:

N = m¨ x + ml¨θcosθ − ml ˙ θ2sinθ

Si se sustituye esta ecuación en la (2.4), se obtiene la primera ecuación del movimiento de este sistema:

(M + m)¨ x + b˙ x + ml¨θcosθ − ml ˙ θ2sinθ = F

Para obtener la segunda ecuación del movimiento, es necesario sumar las fuerzas perpendiculares al péndulo. Resolviendo el sistema a lo largo de este eje se simplifica el cálculo algebraico.

Psinθ + Ncosθ − mgsinθ = ml¨ θ + m¨xcosθ

Para librarse de los términos P y N en la ecuación, se han sumado los momentos sobre el centro de del péndulo para obtener la primera ecuación mostrada a continuación. Finalmente, combinando dicha ecuación con la, se obtiene la segunda ecuación dinámica

−Plsinθ − Nlcosθ = Iθ

(I + ml2)¨ θ + mglsinθ = −mlxcosθ

Para facilitar la labor, se puede trabajar solo con funciones lineales. Para ello, se asume que theta = Pi + ø, donde ø representa un pequeño Angulo en la dirección vertical. Por lo tanto, las dos ecuaciones de movimiento serán:

(I + ml2)¨ φ − mglφ = mlx

(M + m)¨ x + b˙ x − ml¨ φ = u

FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA

Cualquier sistema físico (mecánico, eléctrico, etc.) se puede traducir a una serie de valores matemáticos a través de los cuales se conoce el comportamiento de estos sistemas frente a valores concretos. Esto es lo que permite la función de transferencia. Se trata de un modelo matemático que a través de un cociente relaciona la respuesta de un sistema (salida) a una señal de entrada o excitación. Por dentición una función de transferencia se puede determinar según la expresión:

H(s) =Y

Donde H(s) es la función de transferencia (también denotada como G(s)). Y(s) es la transformada de Laplace de la respuesta y U(s) es la trasformada de Laplace de la señal de entrada. Aplicándolo al péndulo invertido, para obtener analíticamente la función de transferencia de las ecuaciones del sistema lineal izado, se ha de tomar primero la transformada de Laplace de las ecuaciones del sistema. Donde se obtienen las siguientes ecuaciones:

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