Problemas de la parábola. Resuelve lo que se te solicita a continuación

[pic 2]

Problemas de la parábola

Resuelve lo que se te solicita a continuación:

Una parábola tiene ecuación . Si su vértice es V (-).[pic 3][pic 4]

a) Determina la ecuación de la parábola en su forma general y canónica.

Solución

Observamos que la ecuación carece del término en ,  lo que implica que corresponde a una parábola horizontal con V (-),  cuya ecuación general es de la forma , donde: C = 1, D = 9, E = ?, F =? Así, la ecuación general se reduce a la forma , donde, si organizamos y completamos  cuadrados en los términos en Y, tenemos que:[pic 5][pic 6][pic 7][pic 8]

          Factorizando lado izquierdo y D lado derecho[pic 9]

              1)[pic 10]

Así, de la ecuación 1, podemos inferir que , puede tomar la siguiente forma canónica:[pic 11]

       2)[pic 12]

Ahora bien, de la ecuación 2, se sigue que – D = 4p = - 9 donde p = -  y el vértice Vpor consiguiente, la ecuación canónica de la parábola que abre hacia la izquierda es la siguiente:[pic 13][pic 14]

   0   [pic 15][pic 16]

Por otro lado, como Vlos valores de E y F, son los siguientes:[pic 17]

[pic 18]

, donde sustituyendo  E = -1, D = 9, se tiene que:[pic 19]

[pic 20]

Así, D = 9, E = -1, F = 7, por tanto, la ecuación general que representa a la ecuación dada  es la siguiente:[pic 21]

  [pic 22]

Ahora bien, como las coordenadas de V, pertenecen a la parábola, entonces deben de satisfacer a la ecuación, veamos que esto sea cierto:

                  [pic 23]

              [pic 24]

[pic 25]

[pic 26]

-7+7=0

[pic 27]

b) Realiza su gráfica e indica todos los elementos geométricos de la parábola.

Solución

Del inciso anterior, sabemos que p = - , y que el vértice es V (-), por tanto:[pic 28][pic 29]

• Coordenadas del foco  F (h + p, k)  = (- = (- 3,  [pic 30][pic 31]
• Ecuación del eje es  Y = k = , [pic 32]
• Ecuación de la directriz es    X = h - p = - = ,   [pic 33][pic 34]
• Coordenadas del lado recto son: 
• L´= (h + p, k + 2p) = ((-, [pic 35][pic 36]
• R = (h + p, k – 2p) = ( (-[pic 37][pic 38]

Ahora bien, de acuerdo a la información anterior, enseguida presento los datos de la parábola y su respectiva gráfica.

c) Encuentra los puntos de intersección de la parábola con la recta y = - 3x - 5. Aproxima tu resultado a dos decimales.

Solución

Considerando que y + 3x + 5= 0 es la forma implícita de y = -3x -5, y suponiendo que, en efecto, dicha recta corta a la parábola en los puntos , entonces, las coordenadas de dichos puntos, las obtenemos resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones.[pic 47]

1)                [pic 49][pic 50][pic 48]

2)    [pic 51]

                    [pic 52][pic 53]

3) [pic 54]

4) [pic 55]

5)                      Sumando 12 a ambos lados de esta ecuación[pic 56]

6)                    Factorizando lado izquierdo       [pic 57]

7)                         Tomando raíz cuadrada a ambos lados[pic 58]

8)                         Sumando 2 a ambos lados[pic 59]

[pic 60][pic 61][pic 62]

9)  [pic 63][pic 64]

                                             [pic 69][pic 70][pic 71][pic 72][pic 73][pic 74][pic 75][pic 65][pic 66][pic 67][pic 68]

                                                [pic 76][pic 77][pic 78][pic 79]

     [pic 80][pic 81]

[pic 82][pic 83]

[pic 84]

Problema 3. Caída libre

Se le llama caída libre al movimiento que se debe únicamente a la influencia de la gravedad. En la  tabla A encontrarás algunos valores (aproximados) de la gravedad, para diferentes planetas de nuestro sistema solar, y en la tabla B muestra la posición de un objeto en caída libre en cierto planeta.

[pic 85]

a) Grafica la información y determina la ecuación que describe la altura del objeto en función del tiempo. 

Solución

Se graficarán los puntos dados en la tabla B con el programa computacional Graphmatica, también se trazará una línea de tendencia para obtener una mejor idea de la curva que representan los puntos graficados, veamos como nos queda:

[pic 86]

La línea de tendencia nos revela que los puntos graficados siguen una trayectoria parabólica, la cual abre hacia abajo y su eje de simetría es la recta x = 0, de donde se infiere que las coordenadas de su vértice son de la forma V (0, k), lo que implica que h = 0, por tanto, la ecuación canónica que representa a la información dada, debe de ser de la forma p(y – k), pero como h = 0, esta se reduce a la forma:[pic 87]

1)                     Desarrollando lado derecho[pic 88]

2)                    Sumando 4pk   a ambos lados [pic 89]

3)                  Dividiendo 4p a ambos lados y por simetría, obtenemos[pic 90]

4) [pic 91]

Ahora bien, dado al contexto del problema, haremos y = h = altura y  x = t = tiempo, por lo que la ecuación 4 se transforma en:

5) h (t) = , la cual es la función que nos proporciona la altura en cualquier instante de tiempo de su dominio.[pic 92]

Ahora bien, para encontrar el valor de 4p y con ello el valor de k, tenemos que la ecuación 1, en su forma general es:

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