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Diferenciación e Integración Numérica

Diferenciación Numérica

El cálculo de la derivada de una función puede ser un proceso "difícil" ya sea por lo complicado de la definición analítica de la función o por que esta se conoce únicamente en un número discreto de puntos. (Este es el caso si la función representa el resultado de algún experimento). En esta lección estudiaremos técnicas para aproximar las derivadas de una función y veremos el análisis de error de dichas formulas.

Formulas para la primera derivada: La definición de la derivada de una función f(x) en el punto "x" esta dada en términos del límite:

De esta definición podemos decir que si "h" es pequeño entonces:

(Note el símbolo de aproximación). Esto nos da inmediatamente la primera formula numérica para aproximar la derivada:

Antes de ver algunos ejemplos donde usamos esta formula, tratemos de contestar la pregunta de ¿cuán buena es esta aproximación de la derivada? Por el Teorema de Taylor sabemos que:

Donde?x esta entre x y x+h. Si despejamos ahora en esta formula por f'(x) y usamos la definición de Dhf(x) tenemos que:

Esta fórmula nos dice que Dhf(x) aproxima a f'(x) con un error proporcional a "h", i.e., O(h).

Ejemplo 1: Tomamos f(x)=x9 y queremos aproximar f’(x) cuyo valor exacto es nueve. En la siguiente figura ilustramos los errores |f’(x) – Dhf(1)|Como función de "h" en escala logarítmica.

Podemos ver que los errores disminuyen hasta un cierto valor crítico "hmin" luego del cual los errores aumentan según la "h" disminuye. ¿Contradice esto el resultado de arriba de O [h] del error? ¡NO! El resultado de arriba es sobre la convergencia si la aritmética es exacta y se dice que es un resultado asintótico. La figura ilustra los efectos de redondeo debido a la aritmética finita los cuales se hacen significativos para "h" pequeño y pueden afectar cualquier formula numérica para aproximar la derivada. Sin embargo, una formula con un grado de aproximabilidad digamos O [h2] es preferible a una O [h] ya que los errores (teóricos) tienden a cero más rápido y así la "h" no se tiene que hacerse tan pequeña reduciendo así los efectos de los errores por la aritmética finita.

El método de arriba usando la expansión de Taylor se puede utilizar para obtener formulas para aproximar la derivada con un grado de aproximabilidad más alto que uno. Ilustramos esto para la obtención de una formula O(h2). Si en lugar de llegar hasta términos de orden dos, expandimos hasta términos de orden tres en la expansión de Taylor, obtenemoslas formulas:

Si restamos estas dos ecuaciones, despejamos para f'(x), y usamos el teorema del valor medio aplicado a f'''(x) obtenemos la formula:

donde

yYX esta entre [x-h, x+h]. Tenemos pues que la formula Dhnf(x) tiene un error proporcional a O(h2).

Ejemplo 2: Comparamos las dos formulas obtenidas hasta ahora para aproximar f'(x) con el ejemplo de f(x) = x9 para f'(1). Los resultados los presentamos en forma tabulada para distintos valores de h:

h Dhf(1) |f‘(1)- Dhf(1)| Dhn f(1) |f‘(1) – Dhn f(1)|

0.1 13.5795 4.57948 9.85264 0.852636

0.05 11.0266 2.02656 9.21079 0.210788

0.025 9.95452 0.954519 9.05255 0.0525492

0.0125 9.46337 0.463374 9.01313 0.0131281

Este ejemplo ilustra lo superior de la formula Dhnf(x). Note que cada vez que h se divide entre dos, el error en la formula Dhnf(x) se divide por dos (aproximadamente) mientras que en la formula Dhnf(x) se divide (aproximadamente) por cuatro (¿por qué?).

En forma similar se pueden obtener formulas de orden mayor utilizando expansiones de Taylor que envuelvan x=2h, x=3h, etc. Por ejemplo la expansión

nos da una formula de orden cuatro para f'(x). Es importante observar que mientras más alto el grado de aproximabilidad de la formula, más suave tiene que ser la función para que dicha aproximación sea valida. Por ejemplo esta formula de orden cuatro requiere que la función tenga cinco derivadas continuas en el intervalo en cuestión mientras que la formula de orden dos requiere únicamente tres derivadas continuas.

Formulas para la segunda derivada: El proceso de arriba se puede usar para obtener formulas para las derivadas de orden mayor de uno de una función f(x). Usamos este proceso para obtener una formula para la segunda derivada. Usando el Teorema de Taylor, podemos escribir las expansiones:

Sumando estas dos expansiones y despejando para f''(x) obtenemos:

donde

Y Yxesta entre [x-h, x+h]. Tenemos aquí una formula de orden dos para f"(x).

Ejemplo 3: Examinamos la formula de arriba en el caso f(x) = x9 y para aproximar f ‘‘(1)=72. Tenemos los resultados: |f '' (1) - Dh(2) f (1)|

h Dh(2)f(1) |f ''(1) - Dh(2)f(1)|

0.1 74.5368 2.53682

0.05 72.6311 0.63105

0.025 72.1576 0.157566

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