UNIDAD 2. SISTEMAS LINEALES DE ECUACIONES, RECTAS, PLANOS Y ESPACIOS VECTORIALES

UNIDAD 2. SISTEMAS LINEALES DE ECUACIONES, RECTAS, PLANOS Y ESPACIOS VECTORIALES

Presentado por:

JULIO CESAR HERNANDEZ GIRALDO - CÓDIGO 10009494

CÉSAR EDUARDO CASTRO FLÓREZ  - CÓDIGO 10008672

JULIAN NIETO SANCHEZ - CÓDIGO 10027426

VICTOR ALFONSO CARDONA – CÓDIGO 14570994

DIEGO ALEJANDRO VANEGAS- CODIGO 9912076

Tutor:

OSCAR IVAN VALDERRAMA

ÁLGEBRA LINEAL – 208046

GRUPO 77

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA

 COLOMBIA

2015-1

Índice

1.        Introducción        3

2.        Objetivos        4

3.        Desarrollo de la actividad:        5

1.1.        Ejercicio 1:        5

1.2.        Ejercicio 2:        11

1.3        Ejercicio 3:        13

1.4        Ejercicio 4:        14

1.5        Ejercicio 5:        16

4        Conclusiones        22

5        Referencias        24

1. Introducción

En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo.

Se denomina ecuación lineal a aquella que tiene la forma de un polinomio de primer grado, es decir, las incógnitas no están elevadas a potencias, ni multiplicadas entre sí, ni en el denominador.

Las ecuaciones lineales con 2 incógnitas siempre serán representadas una recta en el plano, R2. Y si la ecuación lineal tiene 3 incógnitas, su representación gráfica será en un plano en el espacio, R3.

1. Objetivos

El estudiante se apropiara de manera significativa los elementos teóricos fundamentales de sistemas lineales de ecuaciones, rectas, planos y espacios vectoriales desarrollando las competencias pertinentes para contextualizarlos en su campo de formación disciplinar.

Conceptualmente se debe que reflejar el entendimiento de nociones como la de un plano o de una recta en el espacio es necesaria para el desarrollo de trabajo colaborativo además de complementarlo con el manejo pertinente de las diversas formas en la que son obtenidas las ecuaciones que se representan en los ejercicios planteados.

Conocer de cerca el concepto de lo que es un sistema de ecuaciones lineales, lo lleve a espacios más generales y reconozca su importancia en aplicaciones más específicas. Además de entender y manejar con propiedad los distintos procedimientos que le permiten obtener una solución del de los ejercicios.

El siguiente trabajo colaborativo busca que por medio del espacio de interactuación de los integrantes del grupo colaborativo se enriquezca el desarrollo de los ejercicios planteados.

1. Desarrollo de la actividad:

1. Ejercicio 1:

Utilice el método de eliminación de Gauss Jordan para encontrar todas las soluciones, si existen para los sistemas dados.

1. [pic 1]

1. [pic 2]

1. [pic 3]

Nota: en el entorno de aprendizaje práctico deben verificar el resultado usando el software que en la hoja de ruta les sugieren o utilizar otra herramienta computacional que les ayude a comprobar el ejercicio, en el trabajo anexar los pantallazos de la verificación.

Desarrollo:

1. [pic 4]

[pic 5]

A la fila 2 se resta la fila 1 multiplicada por -4

[pic 6]

De la 3ª fila sustraemos la 1ª línea, multiplicada por -2.

[pic 7]

Se multiplica la fila 2 por -1/7.

[pic 8]

De la 1ª fila sustraemos la 2ª línea multiplicada por 2

[pic 9]

A la tercera fila se suma 6 veces la segunda.

[pic 10]

Se multiplica el 3º por 7/61

[pic 11]

A la primera fila se suma la tercera multiplicada por 11/7

[pic 12]

De la 2ª fila sustraemos la 3ª línea, multiplicada por -9/7

[pic 13]

[pic 14]

1. [pic 15]

[pic 16]

A la fila 2 se le resta 3 veces la fila 1.

[pic 17]

Se multiplica el 2º por -1/8.

[pic 18]

A 1º se resta la segunda fila por 2.

[pic 19]

Hasta este punto se llega con la reducción y quedan planteadas las ecuaciones con la variable libre x3:

[pic 20]

1. [pic 21]

[pic 22]

A 2º se sustrae 4 veces 1º.

[pic 23]

A 3º se sustrae 3 veces 1º.

[pic 24]

Se multiplica 2º por 1/7

[pic 25]

A 1º se le suma 2 veces 2º.

[pic 26]

El sistema es inconsistente y no tiene solución.

Pantallazos comprobación del ejercicio.

a.

[pic 27]

b.

[pic 28]

c.

[pic 29]

1. Ejercicio 2:

Encuentra las ecuaciones paramétricas y las simétricas de la recta indicada:

1. Contiene a (-2,5,4) y (2,0.-4)

[pic 30]

[pic 31]

[pic 32]

[pic 33]

 [pic 34]

[pic 35]

[pic 36]

[pic 37]

[pic 38]

     Ecuación vectorial[pic 39]

        Números directores del vector[pic 40]

Ecuaciones paramétricas:

[pic 49]

[pic 50]

[pic 51]

1. Contiene a (-1,5,2) y es paralela a 4i +3j-3k

[pic 52]

[pic 53]

Como tenemos un punto y un vector definido, simplemente reemplazamos en ecuaciones paramétricas y simétricas.

Ecuaciones paramétricas:

[pic 61]

[pic 62]

[pic 63]

1. Ejercicio 3:

Encuentra las ecuaciones paramétricas y las simétricas de la recta indicada que

Contiene a (1, 1,-2) y es paralela a [pic 64]

Como tenemos un punto y un vector definido solamente reemplazamos

Solución  p =[pic 65]

[pic 66]

Por lo tanto

[pic 67]

Para obtener las ecuaciones paramétricas solamente reemplazamos el valor del vector y los valores correspondientes a x1, y1, z1 teniendo en cuenta los signos

Entonces tenemos que las ecuaciones paramétricas son:

...