VIBRACION FORZADA AMORTIGUADA

VIBRACION FORZADA AMORTIGUADA

INTRODUCCIÓN

VIBRACIONES FORZADAS CON AMORTIGUAMIENTO.

La ecuación diferencial del movimiento, teniendo en cuenta que la fuerza es de tipo periódico, F= F0sen(ωt) es de la forma.

MẌ +CẊ +KX = Pm sen (ωt)

Se supone amortiguamiento inferior al crítico para que resulte una vibración, la solución general se obtiene añadiendo a la solución de la ecuación diferencial de la homogénea una solución particular de la completa.

Vibración forzada amortiguada

Cuando una fuerza perturbadora armónica P sen(ωt) actúa sobre el sistema resorte- masa la ecuación diferencial queda :

W/(g ) x ̈+cx ̇+kx psen(ωt)

La vibración que resulta constara de dos partes, la vibración amortiguada libre y la vibración forzada.

La vibración libre se amortiguara en un corto tiempo, después del cual solo existirá la vibración forzada.

La expresión para la vibración forzada tiene la forma:

x=X sen( ωt- Φ)

En donde la amplitud y la fase se dan por las ecuaciones siguientes:

X= P/(k )*1/(√([1- (ω/ωn)^2 ] )+ (2ζ ω/ωn)^2 )

Φ=〖tan〗^(-1) 2ζ(ω/ωn)/(1-(ω/ωn)^2 )

El primer factor del lado derecho de la primera ecuación es la DEFLEXION DE FRECUENCIA CERO, O SEA, LA DEFLEXION ESTATICA, que resultaría si se aplicara una fuerza estable de magnitud P al resorte de rigidez k. El segundo factor se debe a las condiciones dinámicas y se llama FACTOR DE AMPLIFICACION.

(Xm*K)/Pm= 1/(√([1-(ω/ωn)^2 ]^2 )+(2ζ ω/ωn)^2 )

En la siguiente grafica se muestra el factor de amplificación y el ángulo de fase contra ω/ωn para varios valores del factor de amortiguamiento ζ.

Cuando la fuerza perturbadora tiene una frecuencia muy baja en comparación con la frecuencia natural del sistema, la razón ω/ωn es pequeña y el factor de amplificación tiende a la unidad con el ángulo de fase tendiendo a cero. Cuando la fuerza perturbadora tiene una frecuencia muy alta ω/ωn es grande, y el factor e amplificación tiende a cero con el ángulo de fase tiende a 180°. En cualquiera de estos 2 casos extremos, es pequeño el efecto del amortiguamiento sobre el factor de amplificación.

Cuando ω tiende a ωn se encuentra la condición de resonancia y la amplitud de vibración queda limitada solo por la cantidad de amortiguamiento presente.

El ángulo de fase sufre una gran variación y tiene el valor de 90°, si ω/ωn = 1.0.

Representación vectorial:

Debajo de la resonancia (ω<ωn)

En resonancia (ω=ωn)

Arriba de la resonancia (ω>ωn)

Aislamiento de la vibración

Las vibraciones que se originan en las máquinas u otras fuentes se transmiten en general a la estructura vecina. Con el fin de reducir las vibraciones transmitidas, con frecuencia se utilizan aisladores, como resortes, soportes de hule o cojines de corcho. Por ejemplo los motores de los automóviles se montan en soportes de hule para reducir la transmisión de las vibraciones del motor al resto del vehículo. Es importante aquí la razón de la fuerza transmitida a la fuerza perturbadora, esta razón se denomina transmisibilidad. Si se supone que el aislador puede representarse por un resorte y un amortiguador, la fuerza transmitida es la suma de la fuerza del resorte y del amortiguador.

FT= FR + Famort

Dónde:

Ft= fuerza de transmisibilidad

Fr= fuerza de resorte

Famort= fuerza de amortiguamiento

FR = KX = K Xm Sen (ωt-φ)

Famort = CẊ = C Xm ω Cos (ωt-φ)

Teniendo que:

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