VIBRACIONES

Í n d i c e

Introducción………………………………………………………………………………………..……………………………2

Vibraciones sin amortiguamiento……………………………………………………………………………….6

Vibraciones libres de partículas. Movimiento armónico simple…………………………….7

Péndulo simple (solución aproximada)………………………………………………………………...9

Péndulo simple (solución exacta)………………………………………………………………………..10

Vibraciones libres de cuerpos rígidos………………………………………………………………….12

Aplicación del principio de la conservación de la energía……………………………………14

Vibraciones forzadas…………………………………………………………………………………………..15

Vibraciones amortiguadas…………………………………………………………………………………………20

Vibraciones libres amortiguadas…………………………………………………………………………21

Vibraciones forzadas amortiguadas………………………………………………………………….…24

Conclusión……………………………………………………………………………………………………………………….26

Bibliografía………………………………………………………………………………………………………………………27

INTRODUCCION

El aumento permanente de las potencias en máquinas, junto con una disminución simultánea de gasto de materiales, y la alta exigencia de calidad y productividad industrial, hacen que el análisis dinámico de las vibraciones mecánicas en máquinas e instalaciones industriales sea cada vez más exacto.

El estudio de las vibraciones mecánicas se ha convertido en algo esencial para el estudiante de ingeniería mecánica ya que el buen funcionamiento de maquinaria mecánica está relacionado en muchos casos con su comportamiento vibratorio.

Es importante conocer la clasificación de las vibraciones mecánicas ya que nos presentan un panorama de los diferentes estudios.

Otra herramienta importante en el estudio de las vibraciones mecánicas es el modelo matemático. Este procedimiento debe ser preciso ya que los errores producen información errónea.

El estudio de las vibraciones mecánicas también llamado, mecánica de las vibraciones, es una rama de la mecánica, o más generalmente de la ciencia, estudia los movimientos oscilatorios de los cuerpos o sistemas y de las fuerzas asociadas con ella.

Vibración: es el movimiento de vaivén que ejercen las partículas de un cuerpo debido a una excitación.

Existe una relación entre el estudio de las vibraciones mecánicas del sonido, si un cuerpo sonoro vibra el sonido escuchado está estrechamente relacionado con la vibración mecánica, por ejemplo una cuerda de guitarra vibra produciendo el tono correspondiente al número de ciclos por segundo de vibración.

Para que un cuerpo o sistema pueda vibrar debe poseer características potenciales y cinéticas. Nótese que se habla de cuerpo y sistema si un cuerpo no tiene la capacidad de vibrar se puede unir a otro y formar un sistema que vibre; por ejemplo, una masa y resorte donde la masa posee características energéticas cinéticas, y el resorte, características energéticas potenciales.

Otro ejemplo de un sistema vibratorio es una masa y una cuerda empotrada de un extremo donde la masa nuevamente forma la parte cinética y el cambio de posición la parte potencial.

Vibración mecánica: es el movimiento de vaivén de las moléculas de un cuerpo o sistema debido a que posee características energéticas cinéticas y potenciales.

Una vibración mecánica es el movimiento de una partícula o cuerpo que oscila alrededor de una posición de equilibrio. La mayoría de las vibraciones en maquinas y estructuras son indeseables debido al aumento de los esfuerzos y a las pérdidas de energía que las acompañan. Por lo tanto, es necesario eliminarlas o reducirlas en el mayor grado posible mediante un diseño apropiado

En cualquiera que sea el caso, la excitación es el suministro de energía. Como ejemplos de excitación instantánea tenemos el golpeteo de una placa, el rasgueó de las cuerdas de una guitarra el impulso y deformación inicial de un sistema masa resorte, etc.

Como ejemplo de una excitación constante tenemos el intenso caminar de una persona sobre un puente peatonal, un rotor desbalanceado cuyo efecto es vibración por desbalance, el motor de un automóvil, un tramo de retenedores es una excitación constante para el sistema vibratorio de un automóvil, etc.

Vamos a ver varias formas de clasificar el estudio de las vibraciones mecánicas.

Vibración libre: es cuando un sistema vibra debido a una excitación instantánea.

Vibración forzada: es cuando un sistema vibra debida a una excitación constante.

Esta importante clasificación nos dice que un sistema vibra libre mente solo y solo si existen condiciones iniciales, ya sea que suministremos la energía por medio de un pulso (energía cinética) o debido a que posee energía potencial, por ejemplo deformación inicial de un resorte.

Esta energía es disipada por el fenómeno llamado amortiguación, en ocasiones es despreciable.

Aun cuando la energía es disipada durante la vibración, en el caso de la vibración forzada esta descompensada por la excitación constante.

Vibración amortiguada: es cuando la vibración de un sistema es disipada.

Vibración no amortiguada: es cuando la disipación de energía se puede disipar para su estudio.

El amortiguamiento es un sinónimo de la perdida de energía de sistemas vibratorios. Este hecho puede aparecer como parte del comportamiento interno de un material, de rozamiento, o bien, un elemento físico llamado amortiguador.

Vibración lineal: si los componentes básicos de un sistema tienen un comportamiento lineal la vibración resultante es lineal.

Vibración no lineal: se produce si alguno de sus componentes se comporta como no lineal.

El comportamiento lineal de un elemento facilita su estudio, en la realidad todo elemento de comporta como no lineal pero los resultados de su estudio no difieren, en su mayoría, a los realizados si se consideran como elementos lineales.

Cuando, aplicando una fuerza adicional, se desplaza un punto material o un cuerpo rígido que estaba en equilibrio estable, aparece una vibración mecánica:

Oscilación horizontal de un cuerpo unido a un resorte (fig. a) cuando se aparta de su posición de equilibrio y luego se suelta.

Oscilación vertical de un trampolín o de una varilla (fig. b) cuando se desplaza de su posición de equilibrio y luego se suelta.

Oscilación circular de la lenteja de un péndulo suspendida por un hilo inextensible de peso despreciable (fig. c) cuando se desplaza por su posición de equilibrio y luego se suelta.

1.1 VIBRACIONES LIBRES DE PARTÍCULAS. MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE.

Veamos la siguiente situación:

Cuando se agrega una masa M en un resorte, sabemos que este tendera a un alargamiento δ_est y después quedando nuevamente en equilibrio. En este momento y según el diagrama estático:

W=T=k* δ_est

Suponiendo ahora que la partícula se desplaza una distancia x_m desde su posición de equilibrio y se suelta sin velocidad inicial. Tomando como positiva la distancia abajo del punto de equilibrio y negativo desde el punto de equilibrio hacia arriba.

Después de esta acción, se va a generar una amplitud xm. Para el análisis, se estudiara cuando la masa se encuentre por la posición x, en ese momento y según el diagrama de equilibrio:

ma=W-T=W-k (δ_est+ x)= W-kδ_est- kx pero W=kδ_est

→ma=mx ´´= -k*x

→x ´´= -(k⁄m)x,llamaremos p^2= k⁄m

→x´´+ p^2 x=0

El movimiento que define la ecuación anterior se llama Movimiento Armónico Simple. Se caracteriza por que la aceleración es proporcional al desplazamiento y de sentido opuesto. La solución general para la ecuación x´´+ p^2 x=0, es:

x=A sen pt+B cos pt

V=Ap cos pt-Bp sen pt

a= -Ap^2 sen pt-Bp^2 cos pt

Los valores de A y B, dependen de las condiciones iniciales del movimiento. Se obtiene que:

A= V_O⁄p B= x_0

Después de análisis vectoriales:

x= x_m sen (pt+ Φ)

V=x´= x_m p cos (pt+ Φ)

a=V´=x´´= - x_m p^2 sen (pt+ Φ)

p: se le llama velocidad angular; xm: es el desplazamiento máximo o amplitud y Φ: ángulo fase.

Por otro lado tenemos que:

Periodo = τ = 2π / p

Frecuencia = f = 1 / τ = p /2π

Los valores máximos de las magnitudes de la velocidad y la aceleración son:

V_m= x_m p a_m= x_m p^2

1.2 PÉNDULO SIMPLE (SOLUCIÓN APROXIMADA)

La mayor parte de las vibraciones encontradas en aplicaciones de ingeniería se representan mediante un movimiento armónico simple. Muchas otras, aunque de un tipo diferente, se aproximan por medio de un movimiento simple, siempre que su amplitud permanezca pequeña. Considera, por ejemplo, un péndulo simple, consistente

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