Variable Aleatoria

05. VARIABLE ALEATORIA

En gran cantidad de experimentos aleatorios es necesario cuantificar los resultados, es decir, asignar a cada resultado del experimento un número, con el fin de poder realizar un estudio matemático. Ejemplos. Consideremos el experimento aleatorio que consiste en lanzar tres monedas, supongamos que a cada elemento de su espacio muestral E=(CCC, CCS, CSC, SCC, CSS, SCS, SSC, SSS) le asignamos un número real, el correspondiente al número de caras.

Esta correspondencia que acabamos de construir es una función del espacio muestral E en el conjunto de los números reales R. A esta función la llamaremos Variable Aleatoria y la denotaremos por X.

Supongamos el experimento aleatorio que consiste en lanzar dos dados, podemos asignar a cada resultado la suma de los puntos aparecidos en cada dado (discreta). Consideremos el experimento que consiste en elegir al azar 500 personas y medir su estatura. La ley que asocia a cada persona con su talla es una variable aleatoria (continua).

Variable Aleatoria. Se dice que hemos definido una variable aleatoria para un experimento aleatorio cuando hemos asociado un valor numérico a cada resultado del experimento. Sea E el Espacio muestral asociado a un experimento. Se llama variable aleatoria a toda aplicación del espacio muestral E en el conjunto de los números reales (es decir, asocia a cada elemento de E un número real). Se utilizan letras mayúsculas X, Y,... para designar variables aleatorias, y las respectivas minúsculas (x, y, ...) para designar valores concretos de las mismas.

Si un experimento con espacio muestral E, tiene asociada la variable aleatoria X, es natural que se planteen preguntas como: ¿Cuál es la probabilidad de que X tome un determinado valor?, esto nos lleva a establecer, por convenio, la siguiente notación,

- (X=x) representa el suceso "la Variable Aleatoria X toma el valor x", y P(X=x) representa la probabilidad de dicho suceso.

- (X<x) representa el suceso "la variable aleatoria X toma un valor menor a x", y P(X<x) representa la probabilidad de que la Variable Aleatoria X tome un valor menor a x.

- (Xx) representa el suceso "la variable aleatoria X toma un valor menor o igual a x”, y P(Xx) representa la probabilidad de que la Variable Aleatoria X tome un valor menor o igual a x.

Normalmente, los resultados posibles (Espacio muestral E) de un experimento aleatorio no son valores numéricos. Por ejemplo, si el experimento consiste en lanzar de modo ordenado tres monedas al aire, para observar el número de caras (C) y Sellos (S) que se obtienen, el espacio muestral asociado a dicho experimento aleatorio sería:

E=(CCC,CCS,CSC,SCC,SCS,SSC,CSS,SSS)

En estadística resulta más fácil utilizar valores numéricos en lugar de trabajar directamente con los elementos de un espacio muestral como el anterior. Así preferimos identificar los sucesos (CSS,SCS,SSC) con el valor numérico 1 que representa el número de caras obtenidas al realizar el experimento. De este modo aparece el concepto de variable aleatoria unidimensional como el de toda función

que atribuye un único número real xe, a cada suceso elemental e, del espacio muestral E.

Por ejemplo, en el ejemplo anterior, se define la variable aleatoria: X=Número de caras del siguiente modo: X(CCC)=3; X(CCS,CSC,SCC)=2; y X(SSC,CSS,SCS)=1, y finalmente X(SSS)=0, puesto que estamos hablando de caras

- La variable X no recibe el calificativo de aleatoria por el hecho de que atribuya de modo imprevisible un valor cualquiera a un elemento (e está incluido en E) ya que este valor está definido de forma precisa (determinística). Lo que es aleatorio en realidad, es que al hacer el experimento, no sabemos qué elemento de E puede ocurrir.

- La composición de una función real con una variable es también variable aleatoria, pues está definida sobre E y a cada elemento suyo le asocia un valor real.

En función de los valores que tome la variable, esta puede ser clasificada en discreta o continua del siguiente modo que es Discreta cuando sólo puede tomar un número finito o infinito numerable de valores, por ejemplo, el conjunto de los números naturales; y es Continua cuando puede tomar un número infinito no numerable de valores, por ejemplo, el conjunto de los número reales. En un caso se habla de elementos contables y en el otro de elementos medibles

Si sobre los elementos de E existe una distribución de probabilidad, esta se transmite a los valores que toma la variable X. Es decir, toda la variable aleatoria conserva la estructura probabilística del experimento aleatorio que describe, en el sentido de que si P es la función de probabilidad definida sobre el espacio muestral E, ésta induce otra función P` definida sobre el conjunto de los reales, de forma que conserva los valores de las probabilidades,

Variable Aleatoria Discreta. Dada una Variable Aleatoria Discreta X, su función de probabilidad f, se define de modo que f(xi) es la probabilidad de que X tome ese valor. Si xi no es uno de los valores que puede tomar X, entonces f(xi)=0. La representación gráfica de la función de probabilidad se realiza mediante un diagrama de barras análogo al de distribución de frecuencias relativas para variables discretas.

Ejemplo, si retomamos el caso del lanzamiento de 3 monedas de forma que cada una de ellas tenga probabilidad 1/2 de dar como resultado cara o sello, se tiene que,

Obsérvese que X está definido sobre el espacio muestral de sucesos E, mientras que f lo está sobre el espacio de números reales .Las propiedades de la función de probabilidad de Variable Aleatoria se deducen de forma inmediata de los axiomas de probabilidad,

Si x1,…,xn son todos los valores admisibles de la variable aleatoria X, entonces, la suma de probabilidades de todos los valores es UNO (1):

e igualmente todos estos valores deben ser positivos.

Otro concepto importante es el de función de distribución de una variable aleatoria discreta, F, que se define de modo que si x pertenece al conjunto de los valores reales, F(xi) es igual a la probabilidad de que X tome un valor inferior o igual a xi:

F(xi)=P(X≤xi)

Esta función se representa gráficamente del mismo modo que la distribución de frecuencias relativas acumuladas. Volviendo al ejemplo de las tres monedas, se tiene que

Gráficamente,

Variables aleatorias discretas

Problema. Lanzamos dos dados

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