APLICACION DE ESPACIOS VECTORIALES

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE

TEZIUTLÁN

INTRODUCCIÓN

En esta investigación hablaremos de algunas aplicaciones que tienen los espacios vectoriales, así como también algunos teoremas relacionados a dicho tema, al igual que aplicaciones lineales derivadas de estos espacios.

Un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto, definida entre dicho conjunto y un cuerpo matemático), cumpliendo una serie de propiedades o requisitos iniciales.

A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo, escalares.

DESARROLLO

ESPACIOS VECTORIALES

Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos, llamados vectores, junto con dos operaciones llamadas suma y multiplicación por un escalar que satisfacen los diez axiomas enumerados a continuación.

Axiomas de un espacio vectorial

Teorema 1

Sea V un espacio vectorial. Entonces

Definición de subespacio de un espacio vectorial y sus propiedades

Sea H un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V y suponga que H es en sí un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por un escalar denidas en V. Entonces se dice que H es un subespacio de V.

Se puede decir que el subespacio H hereda las operaciones del espacio vectorial “padre” V.

Teorema 2

Un subconjunto no vacío H de un espacio vectorial V es un subespacio de V si se cumplen las dos reglas de cerradura.

Este teorema demuestra que para probar si H es o no un subespacio de V , es suficiente vericar que:

La prueba anterior contiene un hecho que por su importancia merece que se le mencione explícitamente.

Todo subespacio de un espacio vectorial V contiene al 0.

Este hecho con frecuencia facilitará ver si un subconjunto de V en particular no es un subespacio es un subespacio. Note que el vector cero en H, un subespacio de V, es el mismo que el vector cero en V.

Teorema 3

Sean H1 y H2 dos subespacios de un espacio vectorial V. Entonces H1 ∩ H2 es un subespacio de V.

Propiedades de vectores, combinación lineal, dependencia e independencia lineal

Definición 1 Combinación Lineal. Sean v1, v2,…, vn vectores en un espacio vectorial V. Entonces cualquier vector de la forma:

Definición 2 Conjunto Generador. Se dice que los vectores v1,v2, …, vn de un espacio vectorial V generan a V si todo vector en V se puede escribir como una combinación lineal de ellos. Es decir, para todo v ∈ V , existen escalares a1, a2,…, an tales que:

Un espacio vectorial sobre un cuerpo es un conjunto no vacío sobre el que se definen 2 operaciones internas y 8 propiedades inherentes, a saber:

(Cerradura bajo la operación de dos elementos de)

(Cerradura ante de un elemento del cuerpo y un elemento de )

• Propiedad Conmutativa

• Propiedad Asociativa

• Existencia de elemento neutro ante

• Existencia de elemento opuesto ante

• Propiedad Asociativa

,

• Propiedad distributiva para la operación (+) entre escalares

,

• Propiedad distributiva para la operación entre elementos de

• Existencia de elemento neutro ante la operación

Ejemplos

1. es un espacio vectorial sobre

En efecto:

Teorema 4

Si v1, v2,…,vk son vectores en un espacio vectorial V , entonces gen{v1, v2,…, vk} es un subespacio de V .

Teorema 5

Sean v1, v2,…., vn, vn+1, n + 1 vectores que están en un espacio vectorial V. Si v1, v2,…., vn genera a V, entonces v1, v2,…, vn; vn+1, n + 1 también genera aV. Es decir, si se agregan uno, o más vectores a un conjunto generador se obtiene otro conjunto generador.

Aplicaciones lineales

En matemática una aplicación lineal (también llamada función lineal, transformación lineal u operador lineal) es una aplicación entre dos espacios vectoriales, que preserva las operaciones de suma de vectores y producto por un escalar. El término función lineal se usa también en análisis matemático y en geometría para designar una recta, un plano, o en general una variedad lineal.

Dado dos espacios vectoriales y , sobre un mismo cuerpo, diremos que una aplicación es lineal si:

,

APLICACIONES

-. Los espacios vectoriales tienen aplicaciones en otras ramas de la matemática, la ciencia y la ingeniería. Se utilizan en métodos como las series de Fourier, que se utiliza en las rutinas modernas de compresión de imágenes y sonido, o proporcionan el marco para resolver ecuaciones en derivadas parciales. Además, los espacios vectoriales proporcionan una forma abstracta libre de coordenadas de tratar con objetos geométricos y físicos, tales como tensores, que a su vez permiten estudiar las propiedades locales de variedades mediante técnicas de linealización.

-. Un campo vectorial en Rn es una aplicación:

F: A d Rn à Rn

Que asigna a cada punto x de su dominio A un vector F(x).

Si n = 2, F se denomina un campo vectorial en el plano.

Si n = 3, F es un campo vectorial en el espacio.

Podemos representar F dibujando una flecha en cada punto.

Utilizaremos el programa Maple en la representación de campos vectoriales

Ejemplo 1.- Dibujar varios vectores representativos del campo:

F(x,y) = ( ½ xy , ¼ x2)

Solución:

Figura 2.1.1.- Vectores en el plano representativos del campo vectorial F(x,y) = ( ½ xy , ¼ x2)

Ejemplo 2.- Dibujar varios vectores representativos del campo:

F(x , y, z) = ( 2x , 2y , z)

Solución:

Figura 2.1.2.- Vectores en el espacio representativos del campo vectorial F(x , y, z) = ( 2x , 2y , z)

En muchas aplicaciones el vector F(x) representa una cantidad física (fuerza, velocidad, etc.) asociada con la posición x.

-. En la física, la función de potencial de un campo vectorial conservativo F se define como una función p tal que F(x, y, z) = -s p (x, y, z). En este caso, tomando p = -f en la demostración del teorema (18.4), se obtiene F(x, y, z) = s (c/r).

El operador diferencial

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