APLICACIONES DE LAS DIFERENCIALES.

TEMARIO.

APLICACIONES DE LAS DIFERENCIALES.

1. Razones de cambio relacionadas.
2. Diferencial de una función.

1. Aplicaciones de la diferencial y determinación de errores.

1. Aplicaciones de máximos y mínimos.

1. Extremos de una función.
2. Criterio de la 1ª derivada.
3. Concavidad y criterio de 2ª derivada
4. Optimización.

RAZONES DE CAMBIO RELACIONADAS.

La razón la expresamos como el cociente de 2 cantidades.

La razón de cambio se expresa como la comparación de 2 variaciones a través de un cociente.

Razones de cambio relacionadas: establecemos una relación entre razones y la variación siempre es con respecto al tiempo.

Ejemplos. Si A es el área del circulo con radio “r”. Encuentre la razón en la que crece el área del círculo.[pic 1][pic 2]

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A que velocidad cambia el volumen del cubo en el instante que la arista mide 5 cm.[pic 7]

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Un globo esférico se infla con aire a razón de . ¿En qué razón cambia el radio cuando este es de 3 ft?[pic 11]

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El automóvil A viaja hacia el oeste a  y el auto B viaja hacia el sur a . Los 2 autos se dirigen al cruce de las 2 carreteras. ¿A qué velocidad se acercan entre si cuando A está a 0.3 millas y B a 0.4 millas del cruce?[pic 18][pic 16][pic 17]

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Una mujer corre a razón constante de 10 km/h, cruza un punto “P” en dirección norte. Diez minutos después un hombre (que corre a razón constante de 9 km/h) cruza el mismo punto “P”, en dirección este. ¿Qué tan rápido cambia la distancia entre los corredores 20 minutos después de que el hombre cruza por el punto “P”?[pic 25]

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Una lámpara está instalada en lo alto de un poste de 15 ft de altura, un hombre de 6 ft de altura se aleja caminando desde el poste con una rapidez de 5 ft/s, a lo largo de una trayectoria rectilínea. ¿Qué tan rápido la punta de su sombra se desplaza cuando está a 40 pies del poste?[pic 30]

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Ejercicios.

• Cada lado de un cuadrado se incrementa a razón de 6 cm/s. ¿En qué proporción se incrementa el área del cuadrado cuando el área es de 16 cm2?[pic 36]

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• Un tanque cilíndrico con 5 m de diámetro se está llenando con agua a razón de 3 cm3/min. ¿Qué tan rápido se incrementa la altura del agua?

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• Si , determine [pic 44][pic 45]

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• Si  y , encuentre [pic 50][pic 51][pic 52]

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• Un avión que vuela horizontalmente a una altitud de 1 milla y una rapidez de 500 mi/h pasa directamente sobre una estación de radas. Calcule la rapidez a la cual la distancia desde el avión a la estación de radar se incrementa cuando esta a 2 millas.

1. h=1 milla     ,     V=500 mi/h     ,     D=2 millas
2. dV/dt [pic 56][pic 57]

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Una escalera de 10 ft de largo está apoyada contra un muro vertical. Si la parte inferior de la escalera se desliza alejándose de la pared en una razón de 1 ft/s. ¿Qué tan rápido la parte superior de la escalera resbala hacia abajo por la pared, cuando la parte inferior de la escalera está a 6 ft del muro?

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