Análisis de las derivadas y sus aplicaciones

Análisis de las derivadas y sus aplicaciones

Colaborativo 3

Tutor: Juan Gabriel Cabrera

Luis Enrique Blanco Tarazona (código 1073159251)

Juan David Español (código 1073515786)

Grupo: 100410_534

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD

ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA

Funza Mayo de 2015

Introducción

La derivada de una función, no es más que otra función que nos permite cuando reemplazamos puntos en la función, saber cuál es la pendiente de la recta de la tangente a dicho punto sobre la función original.

Derivada es la pendiente de una recta la cual es la tangente a una curva que es continua en (a,b), pero si esta curva no es continua no es posible hallar la derivada

Desarrollo de la actividad

Fase 1

Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva:

y=x^2-2x-3 para x=1

y=x-3x+1=0 punto de corte

Valores críticos

y'=2x-2 =0

2x=2

x= 2/2 =1

Puntos críticos

y=1^2-2*1-3

y=-4

Punto crítico x=1 y=-4 máximo mínimo f”(vc)>0 mínimo <0 máximo y”=2>0 mínimo

Si f(x)=x^4-1/x^4 -ln⁡〖4 halle el valor de f’(1)〗

f’(x)=〖4x〗^3+(-(1-5)/x^(4+1) ) d’(a/x^n )= -(a-n)/x^(n+1)

f’(x)=〖4x〗^3+4/x^5

f’(x)=〖4(1)〗^3+4/〖(1)〗^(5 )

f’(x)=8

x =〖sen〗^2 2x

f x =〖sen〗^2 2x

f^' x =2 sen2x cos 2x 2

f^' x =4 sen2x cos 2x

4. hallar la derivada de las siguientes funciones

f (x)=ln⁡〖x^7 〗/ln⁡〖x^3 〗

Teorema 1: derivada de cociente de funciones

Sea f x y g x funciones diferenciales en x y g x ≠ 0 dado:

c x=(f x)/(g x) Entonces:

c' x=(g x ·f^' x ·g' x)/[ g x ]^2

Teorema 2: derivada de función logarítmica base Euler e dada la función f x = 〖log〗_e (x)=Ln x para el número de Euler, entonces:

f^' x=1/x

Propiedades de los logaritmos

〖log〗_a x^r= r〖log〗_a x

Para resolver el ejercicio aplico el teorema 1 y 2 y la propiedad de los logaritmos para las derivadas:

f^' x= (lnx^3.(7/x)-lnx^7.(3/x))/[ lnx^3 ]^2

f^' x= ((7〖lnx〗^3)/x-(3〖lnx〗^7)/x)/[ lnx^3 ]^2

Separo las fracciones de la resta:

f^' x= ((7〖lnx〗^3)/x-(3〖lnx〗^7)/x)/[ lnx^3 ]^2 = f^'

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