Aplicaciones.

3.5 Aplicaciones.

=Fracciones parciales =

Una técnica muy conveniente utilizada en algunas tareas matemáticas es aquella conocida como fracciones idea principal consiste en cambiar la forma que puede ser expresado un cociente entre polinomios a otra forma más conveniente para cierto tipo de cálculo.

Ejemplo 4.1 Determine los valores de las constantes a y b para que satisfagan:

SOLUCIÓN

Ejemplo: (Forma dudosa) Determine los valores de las constantes a y b para que satisfagan:

SOLUCIÓN

= Determinación de curvas =

Un problema comun en diferentes ´areas es la determinaci´on de curvas. es decir el problema de encontrar la función que pasa por un conjunto de puntos. Usualmente se conoce la naturaleza de la función, es decir, se conoce la forma que debe tener la función. Por ejemplo, línea recta, parábola o exponencial etc. Lo que se hace para resolver este tipo de problemas es describir la forma más general de la función mediante parámetros constantes. Y posteriormente se determinan estos parámetros haciendo pasar la función por los puntos conocidos.

Ejemplo: Determine la función cudrática que pasa por los puntos P (1, 4), Q(−1, 2), y R(2, 3).

Solución

La forma más general de una cuadrática es: f (x) = a x2 + b x + c donde los coeficientes a, b, y c son constantes num´ericas. El problema consiste en determinar estos coeficientes.

Así pues los parámetros a, b, y c se vuelven ahora las incógnitas. Y para poderlas determinar requerimos de ecuaciones o igualdades que deben satisfacer. Para determinar estas ecuaciones debemos usar los puntos.

Para que la función pase por el punto P (1, 4) se debe cumplir que f (x = 1) = 4,

es decir, se debe cumplir: a (1)2 + b (1) + c = 4

es decir, se debe cumplir: a + b + c =4

Procediendo de igual manera con el punto Q(−1, 2): formulamos la ecuación: a − b + c =2 y para R(2, 3): 4a + 2b + c = 3.

Resumiendo para que la función f (x) = a x2 + b x + c pase por los puntos P , Q, y R deben cumplirse las ecuaciones:

a + b + c = 4

a − b + c = 2

4a + 2b + c = 3

La solución a este sistema es: a = 2/3, b = 1, y c =11/3

La misma situación presentada en el problema de las fracciones parciales que originaba un sistema inconsistente, se puede presentar en la determinación de funciones. Y la conclusión es similar: si el sistema originado es inconsistente lo que se concluye es que no existe una funci´on con esa forma general que pase exactamente por los puntos dados.

=Balanceo de Reacciones Químicas=

Una aplicación sencilla de los sistemas de ecuaciones se da en el balanceo de reacciones químicas. La

problemática consiste en determinar el número entero de moléculas que intervienen en una reacción química

cuidando siempre que el número de átomos de cada sustancia se preserve.

Ejemplo Balancee la reacción química: aCH4 + bO2=cCO2 + dH2O

Solución: Para determinar los coeficientes a, b, c, y d que representan el numero de moléculas de las sustancias en la reacción debemos igualar el numero de átomos en cada miembro:

Por los átomos de carbono: a = c. Por los átomos de oxigeno: 2 b = 2 c + d. Por los átomos de hidrógeno: 4 a = 2 d

Este sistema es consistente y origina infinitas soluciones. La f´ormula general para las soluciones queda:

a = 1/2 d

b = d

c = 1/2 d

El valor más pequeño de d que hace que los números de moléculas sean enteros positivos es d = 2: a = 1, b = 2, c = 1, y d = 2

=Aplicaciones a Manufactura=

Ejemplo: Patito computers fabrica tres modelos de computadoras personales: ca˜non, clon, y lenta-pero-segura. Para armar una computadora modelo ca˜non necesita 12 horas de ensamblado, 2.5 para probarla, y 2 mas para instalar sus programas. Para una clon requiere 10 horas de ensamblado, 2 para probarla, y 2 para instalar programas. Y por ´ultimo, para una lenta-pero-segura requiere 6 para ensamblado, 1.5 para probarla, y 1.5 para instalar programas. Si la f´abrica dispone en horas por mes de 556 para ensamble, 120 para pruebas, y 103 horas para instalación de programas, ¿cu´antas computadoras se pueden producir por mes?

Solución

En nuestro caso las incógnitas el n´umero de cada tipo de computadora a producir:

x = n´umero de computadoras cañón

y = n´umero de computadoras clon

z = n´umero de computadoras lenta-pero-segura

Para determinar las ecuaciones debemos utilizar los tiempos de ensamblado, pruebas, e instalación de programas.

Ensamblado: 556(total) = 12 x(cañon) + 10 y(clon) + 6 z(lenta)

Pruebas: 120(total) = 2.5 x(cañon) + 2 y(clon) + 1.5 z(lenta)

Instalación de programas: 103(total) = 2 x(cañon) + 2 y(clon) + 1.5 z(lenta)

Al resolver este sistema obtenemos: x = 34, y = 4, z = 18

Dado lo común de las aplicaciones hacia el área de manufactura, existe una forma simple de construir la matriz del sistema de ecuaciones que en general se trabaja como una tabla:

• En la ultima columna aparecen los recursos: un renglón para cada tipo de recursos y en cuya posición final se pone el total de recursos disponibles.

• En las primera columnas se colocan los objetos o modelos a ser ensamblados o construidos: en cada posición se coloca el total de recursos que consume en forma unitaria cada tipo de objeto.

4.1 Definición de espacio vectorial.

Sean K un cuerpo dado y V un conjunto no vacio, con reglas de suma y producto por escalar que asigna a cada par u, vϵV una suma u+vϵV y a cada par uϵV, kϵK un producto kuϵV. V recibe el nombre de espacio vectorial sobre K (y los elementos de V se llaman vectores) si satisfacen los siguientes axiomas.

[A1] para toda terna de vectores u, v, wϵV, (u+v)+w=u+(v+w).

[A2] existe un vector en V, denotado por 0 y denominado el vector cero, tal que u+0=u para todo vector uϵV.

[A3] para todo vector uϵV existe un único vector en V, denotado por –u, tal que u+(-u)=0.

[A4] para todo par de vectores u, vϵV, u+v=v+u.

[M1] para todo escalar kϵK y todo par de vectores u, vϵV, k(u+v)=ku+kv.

[M2] para todo par de escalares a, bϵK y todo vector uϵV, (a+b)u=au+bu.

[M3] para todo par de escalares a, bϵK y todo vector uϵV, (ab)u=a(bu).

[M4] el escalar unidad 1ϵK cumple 1u=u para todo vector uϵV.

Los axiomas precedentes se desdoblan de forma natural en dos categorías. Los cuatro primeros atañen únicamente a la estructura aditiva de V y pueden resumirse diciendo que V es un grupo conmutativo bajo la suma. De ello se deriva que cualquier suma de vectores de la forma v1+v2+…+vm no requieren paréntesis y no depende del orden de los sumandos, que el vector cero, 0, es único, que el opuesto –u de u es único y que se verifica la ley de cancelación; esto es, para tres vectores cualesquiera u, v, wϵV.

U+w=v+w implica u=v. Asimismo, la resta se define según u-v=u+(-v).

Por otra parte, los cuatro axiomas restantes se refieren a la <<acción>> del cuerpo K sobre V. observece que la rotulación de los axiomas refleja este desdoblamiento. Empleando estos axiomas adicionales probaremos las siguientes propiedades elementales de un espacio vectorial.

Teorema: sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K.

1. Para todo escalar kϵK y 0ϵV, k0-0.

2. Para 0ϵK y todo vector uϵV, 0u=0.

3. Si ku=0, donde kϵK y uϵV, entonces k=0 o u=0.

4. Para todo kϵK y todo uϵV, (-k)u=-ku.

4.2 Definición de subespacio vectorial y sus propiedades.

Sea W un subconjunto de un espacio vectorial V sobre un cuerpo K. W se denomina un subespacio de V si es a su vez un espacio vectorial sobre K con respecto a las operaciones de V, suma vectorial y producto por un escalar. Un criterio simple para identificar subespacios es el siguiente.

Teorema: supongamos que W es un subconjunto de un espacio vectorial V. entonces W es un subespacio de V si y solo si se cumple:

1. 0єW

2. W es cerrado bajo la suma de vectores, es decir: para todo par de vectores u, vєW, la suma u+vєW.

3. W es cerrado bajo el producto por un escalar, esto es: para todo uєW y para todo kєK el múltiplo kuєW.

Corolario: W es un subespacio de V si y solo si:

1. 0єW.

2. au+bvєW para todos los u, vєW y a, bєK.

Ejemplo: sean U y W subespacios de un espacio vectorial V. probemos que la intersección UW es también subespacio de V. claramente, 0U y 0W, porque U y W son subespacios, de donde 0UW. supongamos ahora que u, vUW. entonces u, vU y u, vE y, dado que U y W son subespacios, u+v, kuU y u+v, kuW para cualquier escalar k. así u+v, kuUW y por consiguiente UW es un subespacio de V. El resultado del ejemplo precedente se generaliza como sigue.

Teorema: la intersección de cualquier número de subespacios de un espacio vectorial V es un subespacio de V.

Recuérdese que toda solución de un sistema de ecuaciones lineales con n incógnitas AX=B puede verse como un punto en Kn y por tanto el conjunto solución de tal sistema es un subconjunto de Kn. Supongamos que el sistema homogéneo, es decir, supongamos que el sistema tiene la forma AX=0.

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