Base Ortonormal

Base ortonormal

En álgebra lineal, una base ortonormal de un espacio prehilbertiano V (es decir, un espacio vectorial con producto interno) o, en particular, de un espacio de Hilbert H, es un conjunto de elementos cuyo span es denso en el espacio, en el que los elementos son mutuamente ortogonales y normales, es decir, de magnitud unitaria. Una base ortogonal satisface las mismas condiciones, salvo la de magnitud unitaria; es muy sencillo transformar una base ortogonal en una base ortonormal mediante el producto por un escalar apropiado y de hecho, esta es la forma habitual en la que se obtiene una base ortonormal: por medio de una base ortogonal.

Así, una base ortonormal es una base ortogonal, en la cual la norma de cada elemento que la compone es unitaria.

Estos conceptos son importantes tanto para espacios de dimensión finita como de dimensión infinita. Para espacios de dimensión finita, la condición de span denso es la misma que la de 'span', como se usa en álgebra lineal.

Una base ortonormal por lo general no es una "base", es decir, en general no es posible escribir a cada elemento del espacio como una combinación lineal de un número finito de elementos de la base ortonormal. En el caso de dimensión infinita, esta distinción cobra importancia: la definición dada requiere solo que el span de una base ortonormal seadensa en el espacio vectorial, y no que iguale al espacio entero.

Conjunto ortonormal en Rn

Se dice que un conjunto de vectores S={u1, u2, …, uk} en Rn es un conjunto ortonormal si (1) (2)

Si solo satisface la ecuación (1), se dice que el conjunto es ortogonal.

Si u, v y w en Rn y α es un número real, entonces (3) (4) (5) (6)(7)

Ahora se presenta otra definición útil

Si vϵRn, entonces la longitud o norma de v, denotada por |v|, esta dada por (8)

Nota. Si entonces v*v= Esto significa que (9)

De esta forma se puede obtener la raíz cuadrada en (8), y se tiene (10)(11)

TEOREMA: si S= es un conjunto ortogonal de vectores diferentes de cero, entonces S es linealmente independiente.

Suponga que

Entonces, para cualquier i=1,2,…,k

Como v≠0 por hipótesis |v|2>0 y se dice que c=0. Esto es cierto para i=1,2,…,k, lo que completa la prueba.

Proceso de ortonormalizacion de Gram-Schmidt

Sea H un sub espacio de dimensión m de Rn. Entonces H tiene una base ortonormal.

Sea S= una base de H. se probara el teorema construyendo una base ortonormal a partir de vectores en S. antes de dar los pasios para esta construcción, se observa el hecho sencillo de que un conjunto de vectores linealmente independiente no contiene al vector cero.

Paso 1. Elección del primer vector unitario

Sea (12)

Entonces

De manera que |u|=1.

Paso 2. Elección de un segundo vector ortogonal a u

Como anteriormente se ha visto que, en R2, el vector es la ortogonal a v. en este caso es la proyección de u sobre v. esto se ilustra en la siguiente figura.

Resulta que el vector w dado es ortogonal a v cuando w y v están en Rn para cualquier n≥2. Obsérvese que como u es un vector unitario, para cualquier vector v.

Sea (13) entonces de manera que v’ es ortogonal a u. mas aun, por el teorema, u y v´son linealmente independientes. v’≠0 porque de otra manera lo que contradice la independencia de v1 y v2.

Paso 3. Elección de un segundo vector unitario

Sea (14) entonces es evidente que {u1,u2} es un conjunto ortonormal.

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