Cómo hacer Método gráfico

Resolver por el método gráfico

Una compañía produce pinturas para interiores y exteriores, M1 y M2 la tabla siguiente, proporciona los datos básicos del problema:

Una encuesta de mercado indica que la demanda diaria de pintura para interiores no puede ser mayor que la que 1 Ton más que la de pintura para exteriores. También que la demanda máxima diaria de pintura para interiores es de 2 toneladas.

Determinar la mezcla óptima (la mejor) de productos para exteriores e interiores que maximice la utilidad diaria.

                 [pic 1]

                Sujeto a:

1) [pic 2]

2) [pic 3]

3) [pic 4]

4) [pic 5]

[pic 6]

Para poder solucionar por medio del método gráfico lo primero que debemos realizar es tomar las restricciones como igualdades.

1) [pic 7]

2) [pic 8]

3) [pic 9]

4) [pic 10]

Obtenemos los puntos a graficar:

Restricción 1: Cuando , entonces  ; Cuando , entonces [pic 11][pic 12][pic 13][pic 14]

• Los puntos (4,0) y (0,6).

Restricción 2: Cuando , entonces  ; Cuando , entonces [pic 15][pic 16][pic 17][pic 18]

• Los puntos (6,0) y (0,3).

Restricción 3: Cuando , entonces  ; Cuando , entonces [pic 19][pic 20][pic 21][pic 22]

• Los puntos (-1,0) y (0,1) Nota: esta recta puede alargare para obtener la intersección.

Restricción 4: Cuando , entonces  [pic 23][pic 24]

• Los puntos (0,2) Nota: esta recta puede alargare para obtener la intersección.

Después de esto procedemos a graficar en un plano:

[pic 25]

Una vez teniendo las rectas de las restricciones en la gráfica, obtendremos los puntos a evaluar:

[pic 26]

A simple vista se puede observar que los puntos “a”, “b”, “c” y “e” están sobre puntos que podemos evaluar fácilmente, sin embargo el punto “d” es el único que no se encuentra en un punto visible, por lo cual se realiza una operación de ecuaciones simultaneas utilizando las rectas de las restricciones que forman este punto.

[pic 27]

Restricción 1:[pic 28]

Restricción 2:[pic 29]

Para realizar las ecuaciones simultáneas utilizamos el método de suma y resta:

[pic 30]

[pic 31]

Multiplicando la segunda ecuación para que  quede multiplicado y al restarse de la primera podemos obtener valores de .[pic 32][pic 33]

[pic 34]

-6 () =[pic 35][pic 36]

Quedándonos las siguientes ecuaciones:

[pic 37]

[pic 38]

Al realizar la resta obtenemos:

[pic 39]

Al realizar una sustitución obtenemos que  [pic 40]

[pic 41]

Por lo cual nuestra [pic 42]

Sustituyendo en la primera ecuación obtenemos que:

...