Método gráfico

Método gráfico

El método gráfico representa una excelente alternativa para la resolución y presentación  de problemas que tienen Programación Lineal y 2 variables de decisión. Para esto se utiliza la recta que tiene una sola dimensión y contiene un número infinito de puntos debido a que se extiende en una dimensión.

Para graficar una función de la recta es importante recordar que es solo para problemas que tengan 2 variables, ya que para modelos de 3 o más variables es imposible resolverlo. Ahora para graficar debemos tener una recta expresada como Y=MX + B, donde las variables son "X" y "Y", por lo tanto se necesita conseguir dos puntos, para el punto 1 se puede igualar a 0 "X" y se sustituye en la ecuación para luego resolver y, para el punto 2 se iguala a 0 "Y" sustituyendo igualmente en la ecuación original. Luego esa función recta se gráfica resaltando que son rectas.

El proceso de programación lineal se define como la técnica por medio de la cual se toman decisiones reduciendo el problema bajo estudio a un modelo matemático general. Para esto podemos maximizar y minimizar por el método gráfico nuestro problema con un resultado exacto.

 Al principio para poder graficar se deben conseguir los puntos como se menciona arriba con los puntos "X" y "Y" para cada ocasión. Luego se encuentran los puntos de corte de las ecuaciones, entre ellas, y con los ejes, se escoge la intersección de las funciones y los ejes que es una figura geométrica, se toman los puntos de intersección y se va evaluando cada uno de forma individual, el mayor o el menor según sea maximización o minimización, y está será la solución del problema.

    Para concretar los pasos necesarios para realizar este método son:

1. Gráficas las soluciones o el espacio de soluciones factibles que incluyan todas las restricciones de forma simultánea.
2. Las restricciones de no negatividad (Xi>=0) dan los valores posibles.
3. El espacio encerrado por las restricciones que quedan se calculan sustituyendo el primer término <=0 por "=", para cada restricción con lo que se produce la ecuación de la recta lineal.
4. Trazar cada línea recta en el plano y la región en el cual se encuentra cada restricción cuando se considera la desigualdad, lo indica la dirección de la flecha situada sobre la línea recta asociada.
5. Cada punto contenido o situado en la frontera del espacio de soluciones, satisfacen todas las restricciones y por consiguiente representa un punto factible.
6. La solución óptima puede determinarse al evaluar la dirección en la cual aumenta la función objetivo.

Un ejemplo claro del método gráfico es el siguiente:

Un taller tiene tres (3) tipos de máquinas A, B y C, las cuales tienen 16, 16 y 10 horas disponibles a la semana para la fabricación.

Las maquina pueden  fabricar dos (2) productos 1 y 2, la maquina A produce 4 productos 1 y 2 productos 2, la maquina B produce 8 productos 1 y 8 productos 2, la maquina C produce 2 productos 2.

Todos los productos tienen que ir a cada máquina y cada uno va en el mismo orden: Primero a la máquina A, luego a la B y luego a la C.

Pregunta: Formule y resuelva a través del método gráfico un modelo de Programación Lineal para la situación anterior que permite obtener la máxima ganancia para el taller.

Variables de Decisión:

• [pic 1]: Unidades a producir del Producto 1 semanalmente
• [pic 2]: Unidades a producir del Producto 2 semanalmente

Función Objetivo (F.O) y  Restricciones de producción (S.A)

[pic 3]

[pic 4]
[pic 5]

[pic 6]

Método algebraico (Simplex)

El método algebraico o Simplex se utiliza para hallar las soluciones óptimas de un problema de programación lineal con 3 o más variables, en el cual su procedimiento es iterativo de programación lineal que va desechando las soluciones no factibles y en cada paso evalúa si la solución es óptima o no. Además, se encarga de establecer una solución inicial y factible, luego define una variable de entrada al aplicar las condiciones de factibilidad, en esta situación el algoritmo se puede detener para que no exista una variable de entrada. En este método se busca el máximo de una función lineal sobre un conjunto de variables que satisfagan un conjunto de inecuaciones lineales.

Un ejemplo para visualizar mejor este método es el siguiente:

• Un negocio fabrica sillas y mesas, tiene dos departamentos de corte y ensamble.
• El negocio cuneta con 120 horas para corte y 90 horas para  ensamble.
• Para las mesas se obtiene ganancia de 50 $ y para las sillas ganancia de 80 $

El primer paso: Determine las variables de decisión:

X1 será el número de mesas

X2 será el número de sillas

El segundo paso: Determine la función objetivo del problema:

Z=Ganancia = X1.50$ + X2 80$ Maximizar

El tercer paso: Determine las funciones de restricción del problema,  sujeto a:

X 1 + 2 X 2 <= 120

X 1 + X 2 <= 90

X 1 >= 0, X 2 >= 0

El cuarto paso: Armar la matriz SIMPLEX

Observe que para pasar de inecuación <= a igualdad =, se introduce variable S de ajuste para cada columna:

                         Z                    X 1           X2           S1            S2          resultado

                         Z               -  50X1      - 80X2           0               0      =  0

                         0                 +     X1      + 2X2          1                       =  120

                         0                 +     X1      +   X2          0              1       =  90

                 En la matriz, se elige la columna con menor valor, en este caso la tercera columna con un valor de – 80 y la fila menor de acuerdo con la división del resultado entre el valor de la fila: 120/1

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