CONSOLIDACION TRABAJO COLABORATIVO Y FORO

CONSOLIDACION TRABAJO COLABORATIVO Y FORO

Actividad 1. Explorando la configuración de colores.

1. Para el desarrollo de las actividades propuestas, consultar y estudiar los siguientes temas: combinación lineal, espacio generado, dependencia e independencia lineal. Par cada tema dar una definición clara y dar un ejemplo (NO puede ser imagen tomada de algún texto). Incluir las referencias bibliográficas consultadas, empleando normas APA.

Dando respuesta a los cuestionamientos planteados a continuación, vamos a dar una breve descripción de combinación lineal entre vectores, ya que esta es una manera de definir el espacio generado, que son las posibles combinaciones que hay entre vectores, esto se puede explicar a través de la siguiente formula:

c1v1 + c2v2 + ckvk, donde c1,c2…ck son escalares que se eligen para representar la combinación lineal de cualquier vector  y los vectores v1, v2 … vk generan el espacio vectorial V.

Veamos un ejemplo:

Determinar si el conjunto dado de vectores, genera el espacio vectorial dado:

En ; ,[pic 1][pic 2][pic 3]

Sea (X,Y) , debemos verificar si todo vector de  se puede expresar como una combinación lineal de los vectores dados, es decir todo (x,y)  existen escalares c1,c2 tal que:[pic 4][pic 5][pic 6]

c1 (1,2) + c2 (3,4) = (x,y)

(1c1, 2c1) + (3c2, 4c2) = (x,y)

(1c1 + 3c2, 2c1 +4c2) = (x,y)

Despues lo que se debe hacer es que la componente 1c1 + 3c2 sea igual a X y la componente 2c1 +4c2 sea igual a Y:

1c1 + 3c2 = x

2c1 + 4c2 = y

        Esto nos genera la matriz:

[pic 7]

        Posteriormente utilizamos el método de Gauss – Jordan para resolver la ecuación:

[pic 8]

        De lo cual podemos concluir que c1  + c2  = [pic 9][pic 10][pic 11]

        Por lo tanto genera [pic 12]2

Ahora vamos a definir que es dependencia e independencia lineal

DEPENDENCIA LINEAL  E INDEPENDENCIA LINEAL

Decimos que cuando una solución de un vector es = 0 es conocido como trivial ejemplo

c1 V1+c2V2 = 0   TRIVIAL

Para un sistema de ecuaciones lineales hay dos casos posibles, puede ser compatible determinado, esto es tener solamente una solución (la trivial),  y la segunda es la  no trivial

Dependencia lineal

Se dice que son linealmente dependientes si hay una combinación lineal de ellos que es igual a cero sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal

c1V1+c2V2+...+cnVn=0 donde no todo c1,c2…cn son ceros

Si varios vectores son linealmente dependientes, entonces al menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal al de los demás.

c1V1+c2V2+...+cnVn = 0 ⟹  V1= c1c1V2C2C2Vn

También se cumple el reciproco: si un vector es combinación lineal de otros, entonces todos los vectores son linealmente dependientes.

Ejemplo:

Los Vectores u=(1,0,1) v=(-1,1,0) y w=(1,1,2) son linealmente dependientes, pues:

c1u+c2v+...+c3w=0

c1-c2+c3,c2+c3,c1+2c3=(0,0,0)

Igualando componentes:

c1-c2+c3=0

c2+c3=0  ⟹c2=-c3,c1=-2c3

c1+2c3=0

Para cualquier valor que tome c3  0 se obtiene, un valor para c2 y otro para c1 también distintos de cero, luego los vectores u v y w son linealmente dependientes.[pic 13]

Independencia lineal

Un conjunto de vectores es linealmente independiente si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes.

Por ejemplo en R3, los vectores (1,0,0) , (0,1,0) y (0,01) son linealmente independientes mientras que (2,-1,1) , (1,0,1) y (3,-1,2) no lo son, ya que el tercero es la suma de los dos primeros.

Ahora veamos que es ESPACIO GENERADO:

Espacio generado es: Teniendo a V como un espacio vectorial, y v1, v2, . . . como vectores de V , le llamaríamos espacio generado al conjunto de todas las posibles combinaciones lineales de los vectores v1, v2....

Este conjunto lo representaríamos de la siguiente forma: Gen:(v1,v2...vk)

En otras palabras el espacio generado es el conjunto de vectores que tiene la propiedad de que cualquiera de ellos es combinación lineal de los vectores del sistema generador.

1. Ingresar a la sección Configurar colores del recurso de GeoGebra. Allí se encuentran tres barras horizontales nombradas con las letras 𝑎, 𝑏, 𝑐. Deslizar horizontalmente el botón correspondiente a cada letra

𝑎

y observar lo que sucede con el color de la figura y el vector    𝑏.

𝑐

[pic 14]

A continuación se presenta los vectores asociados a los colores básicos. En la sección de configurar colores, verifique los resultados de color para cada vector.

En la página Geogebra, en la sección configurar colores, se verifican los vectores dados y se encuentran los siguientes resultados:

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