Capitulo III Matemáticas Financieras: Tasas, conversiones y equivalencias.

Capítulo III

Series Uniformes y Criterios de Evaluación de Proyectos

1. Relación de Equivalencia entre una Serie de Sumas Uniformes Iguales o Anualidades y Una Suma Futura (F)

Sea el siguiente diagrama de flujo:

                          A          A          A           A         A          A

        [pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8]

[pic 9]

                                                                    n  (períodos)        [pic 10][pic 11][pic 12][pic 13][pic 14]

                    0         1           2           3          4         n-1

                                                                F

Figura 9. Nombre

Donde:

A: Sumas uniformes (iguales), o anualidades ubicadas al FINAL (o al COMIENZO) de todos y cada uno de los períodos considerados (Mensualidades, Trimestralidades, etc.).

n: # de períodos de capitalización  de composición.

i: Tasa de interés periódico vencido.

F: Suma futura  equivalente a la serie de anualidades.

¿Cómo se relacionan A´S  y F?

Demostración:

El proceso  consiste en llevar cada valor A al futuro (período n), utilizando la relación.

F = P (1 + i)n y sumar todas estas cantidades  F = ∑  Fi:

F = Fn + Fn-1 +…  + F2 + F1                        (1)

F = A+ A (1+i)1 +…   + A (1+i)n-2 +  A (1 +i) n-1        (2)

Multiplicando la ecuación  (2)  por el factor (1 + i):

F x (1 + i) = A (1 + i) + A (1 + i) 2 + … A (1+i) n-1 + A (1 + i) n                 (3)

Restando de la ecuación (3) la ecuación (2):

F (1+i) - F =   -A + A (1+1) n

F + Fi - F=A (1 + i) n – A

Fi=A (1+i) n - 1

Entonces:

[pic 15][pic 16][pic 17]

Fórmulas para anualidades  al final  de cada período

[pic 18]

Reescribiendo las ecuaciones tenemos:

(1)        [pic 19]        ➔    F  = A (F/A, i, n)[pic 20]

F dado A:   Factor financiero o Factor de Equivalencia.

Factor de pago para una serie de pagos compuestos iguales o factor de cantidad compuesta para una serie uniforme.

(2)        [pic 21]        ➔   A = F (A/F, i, n).

A  dado F: Factor de amortización de una serie de pagos iguales o factor de fondo de amortización.

Los factores (F/A, i, n) y (A/F, i, n)  se encuentran, igual que los factores (F/P, i, n) y  (P/F, i, n), en las tablas financieras (interés compuesto discreto, fin de período), para algunos valores de i y de n.

Nota.  Para sumas iguales al Comienzo de cada período:

[pic 22][pic 23]

                                     (1 + i) n-1 – 1

F = A (1 + i) n + A       ---------------------        (1 + i)

                                   i

Ejemplos

• Cuánto debemos  depositar trimestralmente (sumas iguales) en un fondo de  ahorros para retirar  $ 4.000.000  dentro de 2 años? (Sin retiros intermedios).

• Si los depósitos  son al final de cada trimestre?
• Si los depósitos  son a comienzo de cada trimestre (BGN):

Suponer un rendimiento  de 4.56% e.a.

Resolver:

• Con fórmula.
• Con funciones financieras (calculadora).
• Con factor financiero.

• Usted  se propone ahorrar $250.000 / mes (al final de cada mes) durante los  próximos dos (2) años (sin retiros intermedios) en una cuenta de  una  institución del sistema UVR.

      Suponga un rendimiento igual a la inflación (2.25 % anual) y un interés adicional de 1.54 % anual m.v. (sobre saldo mínimo).

¿Qué cantidad de dinero recibirá usted al finalizar el segundo año?

Resolver:         

• Con fórmula.
• Con funciones financieras (calculadora).
• Con factor financiero.

• Un vendedor de pólizas le ofrece el siguiente plan: “Deposite  $360.000 / MES  (al final de cada mes) durante 24 meses; al finalizar el segundo año, le entregaremos $9.100.000. La rentabilidad de su inversión será muy buena, veamos:

(9.100.000 – 8.640.000)  

                                =  $ 19167 / mes[pic 24]

             24

Su inversión es de $ 360.000  / Mes, entonces su rentabilidad será:

  19167

                x 100  = 5.32 % mes[pic 25]

360.000

Continúa el vendedor: Cómo usted puede observar, es una excelente oportunidad la que le estamos ofreciendo………

¿Tomaría usted la póliza?   Realmente, ¿Cuánto interés le están reconociendo?

3.2.    Relación de Equivalencia entre una Serie de Sumas Uniformes o Anualidades y una Suma  Presente (P)

Sea el siguiente diagrama de flujo:

                          A          A          A           A         A          A

        [pic 26][pic 27][pic 28][pic 29][pic 30][pic 31][pic 32]

[pic 33]

                                                                    n  (períodos)        [pic 34][pic 35][pic 36][pic 37]

                     0        1           2           3          4         n-1

                        P                                                                

Figura 10. Nombre

Donde:

A: Sumas uniformes o anualidades al FINAL (O al COMIENZO)  de todos y cada uno de los períodos.

P: Suma presente equivalente a la serie de anualidades, en el momento cero.

i: Tasa de interés periódico vencido.

n: Número  de períodos de capitalización o de composición.

¿Cuál será la relación entre A´s  y P?

Demostración:

En nuestras  relaciones anteriores  tenemos que:

F = P (1 + i)n                        (1)

[pic 38]                        (2)[pic 39][pic 40]

Igualando (1) y (2).

P (1+i)n  = A  [pic 41][pic 42][pic 43][pic 44][pic 45]

P = A  [pic 46]                                

                                                Fórmulas para anualidades al FINAL

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