Comparaciones Y Planteamiento De Conclusiones Logicas

Algunos elementos de consideración antes de realizar las comparaciones.

Antes de realizar las comparaciones es necesario precisar varios aspectos tanto de la lógica tradicional a la que corresponde la teoría silogística como

lo que se refiere a la lógica simbólica a la que corresponde las reglas de inferencia, relativos:

a) al tipo de enunciados y la simbolización, ya que en la silogística tradicional se trabaja con enunciados de tipo universal y particular y en la lógica simbólica se trabaja con proposiciones simples y compuestas y con conectivos lógicos, Esto nos lleva a precisar que un enunciado de tipo universal afirmativo de la lógica tradicional corresponde, o es equivalente, a una proposición condicional o también llamada implicación. Por ejemplo si decimos:

Todos los peces viven dentro del agua es equivalente a decir Sí es un pez entonces vive dentro del agua.

la primera se simboliza con una letra A, por ser un enunciado de tipo universal afirmativo y la segunda se simboliza como una proposición condicional o implicación; P implica Q.

b) al valor de verdad de los enunciados, ya que en la silogística tradicional se trabaja con enunciados verdaderos y en la lógica simbólica se trabaja con proposiciones verdaderas y falsas a la vez. Lo que interesa en esta última es la estructura correcta del razonamiento, su validez lógica, más que la verdad o falsedad de las proposiciones que la componen.

c) A las formas de comprobar los razonamientos, ya que en la silogística se realiza por evidencia intuitiva y por coherencia lógica de acuerdo a las figuras y modos del silogismo. En cambio en la lógica simbólica los razonamientos se comprueban mediante tablas de verdad o aplicando reglas de inferencia, es decir la comprobación es más rigurosa y formal.

Primera comparación.

Silogismo darii

A: Todos los perros son carnívoros

I: manchas es un perro

----------------------------------------------------

I: manchas es carnívoro

regla de inferencia modus ponendo ponens

P implica Q . P subconjunto de Q Sí es un perro entonces es carnívoro

P x elemento de P manchas es un perro

----------------------- ------------------------ -----------------------------------------------------

Q x elemento de Q manchas es carnívoro

Comentario.

Como se observa, en este silogismo usamos el enunciado universal afirmativo (A) para la premisa mayor. En cambio en la regla modus ponendo ponens se utiliza, para la primer premisa, el conectivo sí...entonces, que corresponde a la implicación, resultando la misma estructura de razonamiento.

La segunda fórmula del modus ponendo ponens está en términos de clases o conjuntos, se evidencia el razonamiento de esta regla de inferencia. Ya que al ser el conjunto que corresponde a P, subconjunto de Q, necesariamente un elemento que pertenece a P, pertenece a Q.

Segunda comparación.

silogismo barbara

A: Todos los seres humanos piensan

A: Todos los que razonan son seres humanos

------------------------------------------------------------------

A: Todos los que razonan piensan

regla de inferencia llamada silogismo hipotético

(a) (b) (c)

P implica Q Si es un ser humano entonces piensa Si razona entonces es un ser humano

Q implica R Si razona entonces es un ser humano Si es un ser humano entonces piensa

------------------- ---- ------------------------------------------------- -----------------------------------------------------

P entonces R Si razona entonces piensa Si razona entonces piensa

(b*) P implica Q

R implica P

---------------

R implica Q

Comentario.

En esta comparación sucede algo curioso: primero, al hacer equivalentes cada una de las universales afirmativas con una proposición del tipo sí...entonces nos queda la forma (b) y simbolizado quedaría (b’), la cual tiene una estructura de silogismo hipotético, con la ligera variante de que las premisas están en orden distinto, pero sabemos que esto no altera la estructura de razonamiento, ni su conclusión. Cambiando de orden las premisas nos quedaría (c), con lo cual el razonamiento tendría la forma clásica del silogismo hipotético (a).

Segundo, sí damos una letra a cada término para simbolizarlas, nos quedaría: P: ser humano, Q: piensa y R: razonan, con lo cual nos queda la forma (b’), pero por cuestión un poco rara no nos queda la forma típica del silogismo hipotético que corresponde a la fórmula (a); como aparentemente sería al reescribir el silogismo barbara, cambiando las premisas universales afirmativas por implicaciones. Aquí se manifiesta como el lenguaje verbal nos lleva a curiosidades y paradojas difíciles de entender, en términos de la lógica, tanto tradicional como simbólica. Somos conscientes de que el lenguaje ordinario no plantea tantos problemas en la vida cotidiana sino los plantea, cuando este lenguaje es empleado para propósitos teóricos.

Estas ambigüedades del lenguaje presentes en la lógica tradicional, se pretende eliminar en la lógica simbólica, mediante la simbolización de las proposiciones y sobretodo con el uso de los conectivos lógicos, lográndose mínimamente.

Diagramas de Venn-Euler

En este caso que nos ocupa, recurriremos a las gráficas o diagramas de la lógica de clases, en especial a los de Venn-Euler, para seguir analizando las similitudes entre los silogismos darii y barbara y las reglas de inferencia modus ponendo ponens y silogismo hipotético. Los diagramas de clases se han utilizado, con ciertas interpretaciones, tanto en lógica tradicional , como en la lógica simbólica. Aquí nos encontramos con un problema particular, que consiste en la forma o procedimiento que se utiliza para hacer los diagramas de los silogismos.

En este problema existe en el fondo una discusión respecto a la teoría del silogismo, por un lado el punto de vista de la extensión, donde se tiene que el término mayor incluye al medio, que a su vez incluye al menor. El punto de vista de la comprehensión, donde se dice que una propiedad general es inherente al atributo colocado como término medio, y ese atributo pertenece al sujeto o término menor. Es decir lo que esta implicado para el genero esta implicado para la especie. Cada genero posee una esencia y que toda especie de ese genero posee los caracteres y las propiedades inherentes a la esencia determinada. Incluso para algunos autores el silogismo sólo es fecundo si se considera en su comprehensión.

Por ejemplo en la lógica tradicional se dice que el principio general del silogismo, desde el punto de vista de la extensión, al que nos apegamos para los diagramas, consiste en que: lo que se afirma o niega de todos los individuos de una clase, se afirma o se niega de cualquier número de individuos de esa clase.

Por tanto un silogismo darii se simboliza de la forma siguiente:

T

todos los M son T

Algunos t son M t M

-------------------------

Algunos t son T

La regla de inferencia modus ponendo ponens se simboliza:

Q

P entonces Q P entonces Q P

P x elemento de P x.

----------------- , -----------------------

Q x elemento de Q

El silogismo barbara se simboliza:

T

Todos los M son T

Todos los t son M M

--------------------------- t

Todos los t son T

La regla de inferencia denominada silogismo hipotético se simboliza:

R

P entonces Q

Q entonces R P Q

-------------------

P entonces R

Como se observa, las gráficas de la primera comparación son semejantes y coinciden en la parte del resultado. Es decir, el silogismo darii y el modus ponendo ponens son dos razonamientos idénticos.

En la segunda comparación los diagramas son exactamente iguales, comprobando que el razonamiento deductivo en forma de silogismo barbara es idéntico a la regla de inferencia llamada silogismo hipotético. En el caso del silogismo barbara se ejemplifica claramente la extensión (mayor, medio y menor) que deben tener los términos de acuerdo a la teoría silogística.

Se puede concluir que ambos temas de conocimiento, al ser semejantes, son complementarios y básicos, más que distintos e intranscendentes. Ya que son lenguajes, con un distinto nivel de abstracción, que nos sirven para representar la realidad y nuestros pensamientos en forma de razonamientos válidos. El silogismo es una forma de razonamiento menos abstracta que las reglas de inferencia. A los alumnos de bachillerato les atrae construir silogismos, igualmente se interesan en crear razonamientos, simbolizarlos y comprobarlos mediante reglas de inferencia. Hay que reconocer que éstos últimos les presentan mayor complejidad y, por tanto, mayor dificultad.

Sin embargo, de acuerdo a la teoría de Piaget sobre el desarrollo del pensamiento, se puede decir que, el razonamiento de los adolescentes funciona de manera semejante a los formas de razonamiento, tanto del silogismo como de las reglas de inferencia. Ya que, según este autor, el pensamiento de los adolescentes es un pensamiento de tipo formal, ya que es reversible, interno y organizado en un sistema de elementos interdependientes (INCR). Además de que en este nivel el pensamiento tiende a funcionar como un sistema mental que controla conjuntos de variables y que selecciona entre varias posibilidades.

Es importante subrayar que aunque los estudiantes de nivel de bachillerato estén en el periodo del pensamiento formal no son capaces de describirlo, no son conscientes, del todo, de como funciona su pensamiento.

Así mismo la teoría silogística es considerada como el primer sistema formal c

CONCEPTO DE LÓGICA MATEMÁTICA

La Lógica estudia la forma del razonamiento. La Lógica Matemática es la disciplina que trata de métodos

de razonamiento. En un nivel elemental, la Lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si es o

no valido un argumento dado. El razonamiento lógico se emplea en Matemáticas para demostrar

teoremas, sin embargo, se usa en forma constante para realizar cualquier actividad en la vida.

DEFINICIÓN Y CLASES DE PROPOSICIONES

Una proposición o enunciado es una oración que puede ser falsa o verdadera pero no ambas a la vez.

Toda proposición consta de tres partes: un sujeto, un verbo y un complemento referido al verbo. La

proposición es un elemento fundamental de la Lógica Matemática.

A continuación se tienen algunos ejemplos de proposiciones válidas y no válidas, y se explica el porqué

algunos enunciados no son proposiciones. Las proposiciones se indican por medio de una letra

minúscula, dos puntos y la proposición propiamente dicha.

Ejemplos.

p: México se encuentra en Europa.

q: 15−6 = 9

r: 2x −3 > 7

s: Los precios de los teléfonos celulares bajarán a fin de año.

t: Hola ¿cómo estás?

w: ¡Cómete esa fruta!

Los enunciados p y q pueden tomar un valor de falso o verdadero, por lo tanto, son proposiciones

validas. El inciso r también es una proposición valida, aunque el valor de falso o verdadero depende del

valor asignado a la variable x en determinado momento. La proposición del inciso s también esta

perfectamente expresada aunque para decir si es falsa o verdadera se tendría que esperar a que

terminara el año. Sin embargo, los enunciados t y w no son válidos, ya que no pueden tomar un valor de

falso o verdadero, uno de ellos es un saludo y el otro es una orden.

En general, las proposiciones pueden ser:

• Simples si sólo tienen un sujeto, un verbo y un complemento. En caso contrario, son proposiciones

Compuestas.

• Cerradas si tienen determinado el sujeto. Abiertas si no lo tienen determinado.

• Afirmativas o Negativas. Según lo afirmen o nieguen.

• Verdaderas o Falsas según correspondan o no a la realidad.

Ejemplos.

h: "Ana come pizza y bebe refresco", es una proposición compuesta, cerrada y afirmativa.

j: "Ella no nada muy rápido", es una proposición simple, abierta y negativa.

k: “Cuernavaca no está al norte del D.F. y no hace frío", es una proposición compuesta, cerrada, negativa

y verdadera.

l: 7 + 3 =10 es una proposición simple, cerrada, afirmativa y verdadera.

m: 2

2

x ≠ x − es una proposición simple, abierta y negativa.

n: a + b = 6 es una proposición compuesta, abierta y afirmativa. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Lógica matemática Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

2

CONECTIVOS LÓGICOS EN PROPOSICIONES COMPUESTAS

Existen conectivos u operadores lógicos que permiten formar proposiciones compuestas, es decir,

formadas por varias proposiciones. Los operadores o conectores básicos son:

• Conjunción (operador and)

Se utiliza para conectar dos proposiciones que se deben cumplir para que se pueda obtener un resultado

verdadero. Se le conoce como multiplicación lógica y su símbolo es ∧ (and).

Ejemplo.

Sea el siguiente enunciado: "Voy al cine cuando hay una buena película y cuando tengo dinero "

Sean:

p: Voy al cine.

q: Hay una buena película.

r: Tengo dinero.

De tal manera que la representación del enunciado anterior usando simbología lógica es como sigue:

p = q∧r

Su tabla de verdad es como sigue:

q r p∧r

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0

Donde.

1 = verdadero

0 = falso

En la tabla anterior el valor de q=1 significa que hay una buena película, r=1 significa que tengo dinero y

p=q∧r=1 significa que voy ir al cine. Se puede notar que con cualquiera de las dos proposiciones que

valga cero implica que no asisto al cine.

• Disyunción (operador or)

Con este operador se obtiene un resultado verdadero cuando alguna de las proposiciones es verdadera.

Se conoce como suma lógica y su símbolo es ∨ (or).

Ejemplo.

Sea el siguiente enunciado: “Para ir a Toluca puedo tomar la carretera federal o tomar la autopista de

cuota”

Sean:

p: Ir a Toluca.

q: Tomar la carretera federal.

r: Tomar la autopista de cuota.

q r p∨r

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0 Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Lógica matemática Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

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En la tabla anterior el valor de q=1 significa tomar la carretera federal, r=1 significa tomar la autopista de

cuota y p=q∨r=1 significa ir a Toluca. Se puede notar que con cualquiera de las dos proposiciones que

valga uno implica que llego a Toluca.

• Negación (operador not)

Su función es negar la proposición. Esto significa que sí alguna proposición es verdadera y se le aplica el

operador not se obtendrá su negación (falso) y viceversa. Este operador se indica por medio del símbolo ’.

Ejemplo.

Sea el siguiente enunciado: “El león es el rey de la selva”

Sean:

p: El león es el rey de la selva.

p’: El león no es el rey de la selva.

Su tabla de verdad es como sigue:

p p’

1 0

0 1

...