Compromisos Para Mejorar El Trabajo En Mi Escuela

Competencias, matemáticas y resolución de problemas

J.A. Rupérez Padrón y M. García Déniz

-Club Matemático-

La nueva Ley de Educación expresa con claridad que “el currículo que en ella se presenta opta por una enseñanza y aprendizaje de las matemáticas basados en el desarrollo de competencias”, y presenta un listado de las mismas:

saber argumentar,

saber cuantificar,

saber analizar críticamente la información,

saber representar y comunicar,

saber resolver y enfrentarse a problemas,

saber usar técnicas e instrumentos matemáticos,

saber modelizar,

saber integrar los conocimientos adquiridos.

Y, además, indica con claridad que “La resolución de problemas es el mejor camino para desarrollar estas competencias ya que es capaz de activar las capacidades básicas del individuo, como son

leer comprensivamente,

reflexionar,

establecer un plan de trabajo,

revisarlo,

adaptarlo,

generar hipótesis,

verificar el ámbito de validez de las soluciones, etc.

Y, a su vez, posibilita

experimentar,

particularizar,

conjeturar,

elegir un lenguaje apropiado,

probar una conjetura,

generalizar,

utilizar distintas partes de las matemáticas,

verificar una solución, etc.”

Y nos presenta este taxativo mensaje:

Centrar la actividad matemática en la resolución de problemas es una buena forma de convencer al alumnado de la importancia de pensar en lo que hace y en cómo lo hace.

Pero, ¿cómo funciona todo esto en la resolución de un problema? ¿En qué momento sale cada una de estas competencias? ¿Cómo se identifican? ¿Qué debe hacer un profesor para garantizar que aparezcan y sean bien trabajadas? ¿Qué…? ¿Cómo…? ¿Cuándo…?

Veamos un ejemplo. Vamos a trabajar el siguiente problema tratando de descubrir cómo aparecen las competencias durante el proceso de su resolución.

CENA DE GALA

El restaurante “El glotón” debe preparar la sala para la Cena de Gala de los 122 participantes a un congreso. El restaurador tiene a su disposición 12 mesas de 8 personas y 12 mesas de 6 personas. Los organizadores del congreso han pedido prepararlas de manera que en las mesas utilizadas no queden puestos vacíos.

¿Cuántas mesas de cada tipo pueden ser preparadas para satisfacer la petición de los organizadores?

Indicad vuestras soluciones y explicad cómo las habéis hallado.

En primer lugar, es necesario tener un plan de trabajo para resolver el problema. Dicho plan se estructura en cuatro fases: comprender el problema, buscar una manera de pensar que ayude a resolverlo, ejecutar ese modo de pensar y responder a las preguntas del problema.

En ese plan se contempla trabajar en equipo, agrupando a los alumnos de diferentes maneras según la fase en que nos encontremos. En las fases de comprender el problema y responder a las preguntas se debe trabajar en gran grupo (grupo clase) para conseguir una mayor participación de los alumnos y favorecer así un aprendizaje cooperativo; en las fases de buscar una manera de pensar y de ejecutarla, es conveniente trabajar en pequeño grupo (cuatro o cinco por clase) para propiciar la posibilidad de que cada equipo elija estrategias diferentes y que en la ejecución se puedan poner en juego distintas herramientas lógicas y conocimientos que se correspondan con las diferentes formas de pensar.

Una vez establecido este procedimiento, el profesor da inicio a la primera fase del plan:

I) COMPRENDER

En esta primera fase debemos buscar la información que nos pueda dar el problema, analizarla críticamente, clasificarla, completarla con las informaciones que nos da nuestro propio conocimiento y nuestra experiencia acerca del contexto de la situación problemática.

Mediante la lectura buscaremos la información, la cuantificaremos, la describiremos y la clasificaremos en:

Datos 122 participantes; 12 mesas de 8 personas; 12 mesas de 6 personas.

Objetivo Cuántas mesas de cada tipo deben ser preparadas.

Relación En las mesas utilizadas no pueden quedar puestos vacíos.

Con mesas de una sola clase es imposible cumplir la condición. Podemos utilizar el conocimiento de que 122 no es divisible ni por 8 ni por 6. Por lo tanto, es necesario utilizar mesas de 8 y mesas de 6, simultáneamente.

El alumno no debe limitarse en ningún caso a dar los datos de manera escueta, sino que deberá justificar dónde lo ha encontrado, por qué sabe qué tipo de dato es y cómo ha profundizado en su conocimiento, argumentando de manera conveniente. El profesor ha de cuidar que todo ello se produzca.

A veces es necesario explorar o experimentar con los datos del problema, haciendo pequeñas investigaciones o particularizando a partir de los datos, unas veces para encontrar la relación (no siempre clara) y, otras, para comprender mejor la situación en el contexto.

Ahora debemos buscar una representación adecuada para condensar lo comprendido de la manera más matemática posible. Para ello podemos utilizar herramientas lógicas como: dibujos, gráficos, diagramas, gráficas, modelos, etc.

Diagrama Podríamos utilizar 12 diagramas cerrados divididos en 8 partes iguales y otros 12 divididos en 6 partes, así como las etiquetas correspondientes 8, 6 y 122 para representar los participantes.

Modelo El diagrama puede convertirse en un modelo utilizando cajas o tarjetas divididas en secciones más 122 objetos (piedras, boliches, garbanzos, …) que representen a los participantes. Este modelo puede ayudar a comprender y también ser elemento de resolución.

II) PENSAR

Hay nueve maneras de pensar (estrategias o técnicas de pensamiento); tres son de uso general: modelización, ensayo y error, organización de la información; otras cuatro de uso particular: eliminar, ir hacia atrás, buscar patrones, generalización; y otras dos auxiliares: analogía, simplificación.

Se trata, pues, de elegir las más convenientes para conseguir el objetivo a través de la comprensión que hemos obtenido en el paso anterior.

La modelización es una primera opción inmediata. Se ajusta al hecho de que podemos construir un modelo de la situación que podremos manipular más tarde para resolverla.

También podremos realizar un ensayo y error, basado en ir probando diferentes posibilidades para combinar las mesas de los dos tipos (combinatoria) hasta encontrar una distribución que se ajuste a las condiciones.

Parece evidente que cuando utilicemos la modelización habrá que hacer ensayo y error al ejecutar dicha estrategia.

Pero también podremos organizar la información utilizando lenguajes matemáticos diferentes: operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación y división) o lenguaje algebraico (planteamiento de ecuaciones).

III) EJECUTAR

La ejecución va a depender de la estrategia elegida. Los conocimientos matemáticos puestos en juego irán en consonancia a las exigencias del modo de pensar seleccionado.

Si ha elegido modelización deberá proceder de la siguiente manera:

1. Tomará los 122 objetos y los irá distribuyendo de 8 en 8 o de 6 en 6 sobre las cajas o tarjetas según las etiquetas de las mismas.

2. Cuando los haya repartido todos, comprobará si hay una caja o tarjeta que no esté totalmente llena.

3. Tratará de jugar con los últimos objetos cambiándolos de caja o tarjeta hasta ajustar y queden todos los objetos distribuidos en cajas o tarjetas totalmente llenas.

4. Contabilizando las cajas o tarjetas tendrá una solución al problema.

Si ha elegido ensayo y error sin sistematizar deberá proceder de la siguiente manera:

1. Proceder entonces por ensayos organizados (hipótesis); por ejemplo, considerar que 12 x 8 = 96 y que, por consiguiente, utilizando todas las mesas de 8 plazas, faltarían aún 26 plazas para las cuales 4 mesas de 6 plazas no serían suficientes y una quinta mesa de 6 plazas no sería utilizada completamente.

2. Disminuir entonces el número de mesas de 8 plazas y darse cuenta (verificar) que con 10 mesas de 8 plazas y 7 mesas de 6 plazas se consigue instalar la sala según la pregunta.

3. Después de haber hallado una primera solución, es necesario pensar que podría haber otras. Este paso no es fácil que se dé. La búsqueda anterior agota y se dan por satisfechos con una solución.

Si ha elegido ensayo y error procediendo de manera sistemática deberá añadir la organización mediante el lenguaje aritmético y proceder de la siguiente manera:

1. Como comprende que ha de realizar muchos cálculos del tipo: productos por 8 y por 6 que den como suma 122, se da cuenta que debe ser sistemático y utiliza una tabla de doble entrada como herramienta lógica para organizar los distintos cálculos.

2. Diseñar la tabla con las columnas adecuadas para cada concepto y las filas necesarias para los distintos ensayos realizados.

3. Construir y rellenar una tabla del tipo:

Mesas de 8 Personas colocadas Personas por colocar Mesas de 6 Personas sobrantes

12 12 x 8 = 96 122 – 96 = 26 26 : 6 = 4 26 – 4 x 6 = 2 Error

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