Compuertas

Calculo del coeficiente de descarga Cd en una compuerta vertical con descarga sumergida

Resumen: Sobre la base de los resultados obtenidos por Cofré-Bucheister para el coeficiente de descarga Cd de una compuerta vertical descargando en forma sumergida, el valor de Cd se obtiene en forma teórica considerando un coeficiente de contracción Cc = 0.624 y un coeficiente de velocidad promedio Cv = 0.98 o Cv = 1, con un error máximo de ±4% para relaciones de profundidad: aguas abajo/aguas arriba < 0.91.

Introducción

Por lo común el cálculo de la descarga Q a través de una compuerta con orificio rectangular se efectúa con la formula:

(1)

donde, b es el ancho de la compuerta y del canal aguas arriba y abajo, a la abertura, y1 la carga de altura y Cd el coeficiente de descarga.

Figura 1. Elementos y variables básicas que intervienen en la descarga de una compuerta sumergida.

Para el caso de una compuerta plana vertical con descarga sumergida el valor de q es una proporción de; que contiene tres incógnitas; y2, ya, , lo cual complica la solución del problema y esto a su vez se refleja en la obtención del valor de Cd en forma experimental como se muestra en la figura 2.

Figura 2, Coeficiente de descarga Cd para una compuerta plana vertical con arista viva y descarga sumergida según Cofré-Bucheister.

De acuerdo a Henderson (1966) el valor de Cd se obtiene en forma teórica a través del planteamiento de las ecuaciones de energía y de momentum entre las secciones 1 a 3 de la figura 1 y considerando que y2 = Cc•a donde Cc es el coeficiente de contracción y esta magnitud es similar al que se obtiene en la descarga libre (y2 = ya).

El valor de Cc en descarga libre ha sido estudiado por Benjamín (1956), Rajaratnam (1977); Rajaratnam y Humphries (1982) y otros autores señalados por Jung-Fu (2001), que por lo común, señalan que para efectos prácticos Cc = 0.61 /, sin embargo, el resultado de Swamme (1992) para el salto hidráulico y los valores de Cd en Descarga libre (ver figura 2) indican que además se debe de considerar las perdidas de energía generadas por el chorro de agua al pasar por la compuerta expresadas como un coeficiente de velocidad Cv para conciliar la magnitud de estas dos variables.

El objetivo del estudio es encontrar valores de Cc y Cv que permitan determinar el valor de Cd indicado en la figura 2 a través del modelo teórico que se obtiene de la ecuación de energía y momentum.

1) Ecuaciones de continuidad, energía y momentum

Por continuidad las velocidades en las secciones 1 y 2 se expresan como: V1 = q/y1 y V2 = q/y2 , al plantear la ecuación de energía entre las secciones 1 y 2 considerando las perdidas de energía h12 en términos del coeficiente de velocidad Cv se obtiene.

(2 /)

La ecuación de momentum entre las secciones 2 y 3 sin considerar la fuerza de fricción Pf a lo largo de la longitud del salto Ls (ver figura 1) es:

(3)

Si y2 = Cc•a y las ecuaciones (2 y 3) se igualan por ya se obtiene

(4)

De (2) y (3) se obtienen tres ecuaciones y una definición que son necesarias en la aplicación práctica de (4).

(5)

(6)

(7)

(8)

En la descarga en orificios el producto CvCc es el coeficiente de descarga, debido a que este producto se repite con frecuencia se le define como Co.

1.1) El gasto adimensional

Para homologar el valor del gasto unitario q que se obtiene con la ecuación (1) a partir de Cd de los datos de la figura 2 y el que se obtiene de la ecuación (2) a partir de los coeficientes Cc y Cv se desarrollan ecuaciones adimensionales para el valor de q como se indica a continuación:

(9)

Donde (9) se obtiene se obtiene de la ecuación (1) y el valor Cd se obtiene de la grafica de la figura 2. De (6) se obtiene el gasto adimensional basado en el modelo teórico cuya expresión es la siguiente

(10)

donde A1 es el coeficiente que antecede al radical de (6)

(10.1)

. Al sustituir (6) en (5) y expresando se obtiene el valor de ya/a.

(10.2)

(10.3)

Si se asume que (9) y (10) son iguales se obtiene el valor de Cd para el modelo

(10.4)

2) El valor de Cd, Cv, Cc y Co en la descarga libre

De la curva Descarga libre en la figura 2 se obtienen los valores de Cd para esta condición de operación. El coeficiente de velocidad Cv se obtiene de la ecuación experimental de Gibson

(11)

El coeficiente de contracción para la descarga libre se obtiene de (7) si ya = y2 = Cc•a y al igualar con (1) se obtiene

(12)

Para y1/a = 2.5 de la figura 2 se obtiene que Cd = 0.558, de (11) se obtiene que Cv = 1, al sustituir estos valores en (12) se obtiene que Cc = 0.624.

Si y1/a de la figura 2 se obtiene que Cd = 0.6, de (11) se obtiene que Cv = 0.96 y al sustituir estos valores en (12) se obtiene que Cc = 0.625.

Por lo tanto, se puede considerar que para valores de y1/a ≥ 2.5 el coeficiente de contracción es una constante: Cc = 0.624.

Para efectos prácticos de la aplicación de (4) el valor de Cv se puede considerar como el promedio de la formula de Gibson, esto es, (0.96 + 1)/2 = 0.98, por lo tanto, Co = CvCc = 0.98•0.624 = 0.6115, este valor es cercano al 0.61 propuesto por Henderson (1966) para el coeficiente de contracción asumiendo que Cv = 1.

Sin embargo, al graficar valores de Cv•Cv = Co que se obtienen del producto de la ecuaciones (11 y 12) y de los datos de Cd de la figura 2 el resultado es el siguiente:

Figura 3. Comportamiento de la variable Co = Cv•Cc versus la constante 0.6115

De la figura 3 se observa que la constante 0.6115 es valida para relaciones y1/a ≥ 4 y de una variación significativa de Co para valores menores, siendo la causa de la variación la constante Cv = 0.98 propuesta para todo el rango y1/a.

2.1) Valor de Cv para relaciones y1/a < 4

En forma practica, a dos dígitos de precisión, solo se tienen dos posibilidades: Cv = 1 o Cv = 0.99 y se opta por Cv = 1, siendo el motivo que Jung-Fu (2001) obtiene el valor de Cd asumiendo que el coeficiente de velocidad es igual a uno, lo que permite comprobar los resultados de la ecuación (10.4). La formula propuesta por Jung-Fu es:

donde,

Si Co = Cv•Cc y Cv = 1 entonces Co = Cc y con esto, la única diferencia entre las ecuaciones (10.1 a 10.4) versus (13) se encuentra en el parámetro A2 de (10.3) donde aparece el término Cv/Co por lo tanto las constantes propuestas para estas ecuaciones son las siguientes:

Figura 4. Valores de Cc, Cv y Co propuestas para la descarga sumergida

según la formula propuesta.

3) Condición de descarga libre y sumergida y la magnitud del salto hidráulico ys/a según Swamme.

Las ecuaciones (10.1 a 10.4) y la (13) solo son validas si la compuerta opera en forma sumergida, de lo contrario (descarga en forma libre) el resultado que se obtiene para el gasto unitario q o la abertura a es imaginario. Con el objetivo de eliminar en forma sistémica los puntos de la figura (2) donde se tiene una descarga libre se uso la formula de Swamme (1992) que fue obtenida del estudio de Rajartnam y Subramayan (1967) y que indica

la descarga es libre de lo contrario sumergida / (14)

Si se despeja y3 de (14) suponiendo la igualdad entonces se obtiene una ecuación experimental para el salto hidráulico libre y claro, o sea, este se produce a una distancia a/Cc aguas abajo de la compuerta según Sotelo (xxxx), el resultado es el siguiente

(15)

Tanto Sotelo (2000) como Jung-Fu

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