Conjuntos

Conjunto universal

En matemáticas, un conjunto universal es un conjunto formado por todos los objetos de estudio en un contexto dado. Por ejemplo, en aritmética los objetos de estudio son los números naturales, por lo que el conjunto universal para este caso puede ser el conjunto de los números naturales N. Al conjunto universal también se le denomina conjunto referencial, universo del discurso o clase universal, según el contexto, y se denota habitualmente por U o V.

La elección de un conjunto universal se hace por conveniencia, para establecer una distinción clara entre los objetos matemáticos, todos ellos en el conjunto universal; y los conjuntos formados por dichos objetos, todos ellos subconjuntos del conjunto universal. Escogido un conjunto universal, para cada conjunto de objetos existe su complementario, que contiene todos los elementos que no están en dicho conjunto.

En teoría de conjuntos, los objetos matemáticos estudiados incluyen a los propios conjuntos. El conjunto universal abarcaría entonces no sólo objetos simples como números, sino también conjuntos de números, conjuntos de conjuntos de números, etc. Sin embargo, en este caso suponer la existencia de un conjunto universal lleva una contradicción conocida como la paradoja de Russell.

Una vez que se ha establecido un conjunto universal U de elementos de una cierta clase, se asume que todos los conjuntos A contienen elementos de esta clase, por lo que todos ellos son subconjuntos de U. Esto conlleva una serie de propiedades:

• Todo conjunto A es subconjunto de U, A ⊆ U.

• La unión de un conjunto A con el conjunto universal U es igual a U:

• La intersección de un conjunto A con el conjunto universal resulta en el mismo conjunto A:

El conjunto universal es entonces el elemento absorbente de la unión y el elemento neutro de la intersección. Una vez definido un conjunto universal, puede definirse el conjunto complementario de otro, a partir de la operación de diferencia de conjuntos:

Esto da lugar a las siguientes propiedades:

El complemento del conjunto universal es el conjunto vacío, y viceversa:

Unión de conjuntos

En la teoría de conjuntos, la unión de dos (o más) conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto cuyos elementos son los elementos de los conjuntos iniciales. Por ejemplo, el conjunto de los números naturales es la unión del conjunto de los números parespositivos P y el conjunto de los números impares positivos I:

P = {2, 4, 6, ...}

I = {1, 3, 5, ...}

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}

La unión de conjuntos se denota por el símbolo ∪, de modo que por ejemplo, N = P ∪ I.

Definición

Dados dos conjuntos A y B, la unión de ambos, A ∪ B, es el conjunto que contiene todos los elementos de A y de B:

La unión de dos conjuntos A y B es otro conjunto A ∪ B cuyos elementos son todos los elementos de A o de B:

Ejemplo.

• Sean A = {a, ♠, 5} y B = {8, #}. La unión es A ∪ B = {5, #, a, ♠, 8}.

• Considerando los conjuntos de números naturales C = {n: n es un número primo} y D = {m: m es un número compuesto}. La unión es entonces (C ∪ D) = {n: n es primo o compuesto} = {2, 3, 4, 5, ...}, ya que el único número natural que no es ni primo ni compuesto es (por definición) 1.

En la unión de conjuntos, los elementos repetidos sólo aparecen una vez, pues los conjuntos no pueden tener elementos repetidos:n 1

• La unión de {1, 2, 3, 4, 5} y {6, 2, 9, 1} es {1, 2, 3, 4, 5, 6, 9}.

[editar]Generalizaciones

Es posible definir la unión de un número finito de conjuntos, superior a dos:

La unión de una colección finita de conjuntos A1, ..., An es el conjunto que contiene todos los elementos de cada conjunto en dicha colección:

Y esta se puede calcular utilizando la propiedad asociativa de la unión de dos conjuntos (más abajo). De este modo, para unir varios conjuntos el orden en el que se haga es irrelevante:

Una definición más general en teoría de conjuntos se refiere a una familia de conjuntos:

Sea M una familia de conjuntos. Su unión ∪M se define como:

Esta definición coincide con las anteriores en el caso de una familia finita de conjuntos:

A ∪ B = ∪M, donde M = {A, B}

A1 ∪ ... ∪ An = ∪M, donde M = {A1, ..., An}

La unión general de conjuntos se denota de diversas maneras:

donde esta última se aplica en el caso de que se utilice un conjunto índice, tomando M como {Ai: i ∈ I}.

[editar]Propiedades

Artículo principal: Álgebra de conjuntos.

De la definición de unión puede deducirse directamente:

• Idempotencia. La unión de un conjunto A consigo mismo es el propio A :

A ∪ A = A

• Tanto A como B son subconjuntos de su unión:

A ⊆ A ∪ B y B ⊆ A ∪ B

• La unión de un conjunto A con un subconjunto suyo B lo deja inalterado:

B ⊆ A implica que A ∪ B = A

La unión de conjuntos posee también propiedades similares a las operaciones con números:

• Propiedad asociativa. La unión de los conjuntos A y B ∪ C es igual que la unión de los conjuntos A ∪ B y C :

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

• Propiedad conmutativa. La unión de los conjuntos A y B es igual

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