Construccion de Q ensayo

Construcción de Q

Para llegar a analizar la división en Q -objeto de esta parte de la Clase- es conveniente retomar algunas ideas de la construcción de Q, ampliamente ligada a la operación división. Courant y Robbins afirman que “Los números enteros son abstracciones del proceso de contar colecciones finitas de objetos. Pero en la vida diaria no es suficiente poder contar objetos individuales, es preciso también medir cantidades tales como longitudes, áreas, pesos y tiempo. Si se quiere operar sin obstáculos con las medidas de estas cantidades, que son susceptibles de subdivisiones arbitrariamente pequeñas, es necesario extender el campo de la aritmética más allá de los números enteros”.

La necesidad de medir distintas magnitudes con la unidad que se elija, llevó a los matemáticos a introducir subdivisiones de la unidad.

“El primer paso será el de reducir el problema de la medida al de contar. Comenzaremos por elegir, de modo completamente arbitrario, una unidad de medida – metro, pie, gramo, libra, segundo, etc. – a la que asignaremos la medida 1. Luego, contaremos el número de esas unidades contenidas en la cantidad que deseamos medir, por ejemplo, un cierta masa de plomo pesa exactamente 54 Kg” (Courant, Robbins, (1979), p. 60)

A partir de una unidad elegida, podrán obtenerse nuevas subunidades, obtenidas por subdivisión de la unidad inicial. Más allá de los nombres específicos que se le asignan a las distintas subunidades y del número de subdivisiones que se realicen -como el pie se divide en 12 pulgadas, el metro en 100 cm, etc.- en el simbolismo matemático

“… una subunidad obtenida dividiendo la unidad inicial en n partes iguales se designa con el símbolo 1/n; y si una cantidad contiene exactamente m de estas subunidades, su medida se denota con el símbolo m/n. Este símbolo se llama fracción o razón (a veces se escribe m:n) (Courant, Robbins, (1979), p. 61)

Tal como lo indican los autores, a lo largo de los siglos el símbolo m/n fue perdiendo su relación con contextos de medición y pasó a considerarse, simplemente, como un número en el mismo plano que los números naturales.

Los números racionales Q aparecen así para permitir que, para cualquier par de números naturales a y b con b ≠ 0, se pueda determinar su cociente en ese conjunto: a/b es el cociente de esa división. Por ejemplo, así como la división 4:2 tiene un cociente exacto, en Q la división 3:7 también lo tendrá y es el número 3/7.

Pero al estructurar el nuevo conjunto Q formado por N y los cocientes de naturales, es necesario definir los opuestos tanto aditivos como multiplicativos y las operaciones, entre ellas la división de fracciones.

¿Cómo determinar el cociente de dos números racionales en Q?

Antes de responder a este problema, les planteamos las siguientes preguntas que permiten reflexionar sobre algunas cuestiones relativas a la división en Q.

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