Coordenadas Cilíndricas.

Definir las coordenadas cilíndricas.

Son un sistema de coordenadas para definir la posición de un punto del espacio mediante un ángulo, una distancia con respecto a un eje y una altura en la dirección del eje. Es una extensión de las coordenadas polares para tres dimensiones.

1. Representar gráficamente las coordenadas cilíndricas.

L a representación de coordenadas cilíndricas de un punto (r, θ, z), donde r y θ son las coordenadas polares de la proyección de P en plano polar y z es la distancia dirigida desde el plano hasta P.

2. Escribir las formulas para transformar las coordenadas rectangulares a cilíndricas y de cilíndricas a rectangulares y hacer un ejemplo de cada uno.

x = rCos θ, y = rSen θ, z = z.

r2 = x2 + y2, tan θ = x/y, z = z.

Ejemplo 1.

Obtenga una ecuación en coordenadas cartesianas para la superficie cuya ecuación se ha expresado en coordenadas cilíndricas, e identifique la superficie: r = 6Senθ.

r = 6Senθ. (r)

r2 = 6rSenθ.

x2 + y2 = 6y.

x2 + (y - 3)2 = 9.

Es un cilindro circular recto, cuya sección transversal en el plano xy es la circunferencia con centro (0, 3) y radio 3.

Ejemplo 2.

Obtenga una ecuación en coordenadas cilíndricas para la superficie cuya ecuación se ha dado en coordenadas cartesianas, e identifique la superficie: x2 - y2 = z.

x2 - y2 = z.

r2Cos2θ - r2Sen2θ = z.

Cos2θ - Sen2θ = Cos2θ.

r2Cos2θ = z.

La grafica es un paraboloide elíptico.

3. Mencionar y explicar los casos de coordenadas cilíndricas, representarlo gráficamente cada uno de ellos y hacer un ejemplo de cada caso.

4. Definir el sistema de coordenadas esféricas.

Se basa en la misma idea que las coordenadas polares y se utiliza para determinar la posición espacial de un punto mediante una distancia y dos ángulos.

5. Representar gráficamente las coordenadas esféricas.

La representación en coordenadas esféricas de un punto P es (ρ, θ, φ), donde

ρ = |OP|, θ es la medida en radianes del ángulo polar de la proyección de P en el plano polar y φ es la medida en radianes no negativa del ángulo menor medido desde la parte positiva del eje z a la recta OP.

6. Escribir las formulas para transformar las coordenadas de rectangulares a esféricas, de cilíndricas a esféricas, esféricas a cilíndricas y de esféricas a rectangulares hacer un ejemplo de cada uno.

• Rectangulares a esféricas

, ,

• Cilíndricas a esféricas

, ,

• Esféricas a cilíndricas

, ,

• Esféricas a rectangulares

Ejemplo 1. (Rectangulares a esféricas)

Una ecuación cartesiana para el plano 3x + 2y + 6z = 0. Utilizando las formulas ya antes mencionadas esta ecuación se hace directamente sustituyendo.

3x + 2y + 6z = 0

3ρ Sen φ Cos θ + 2ρ Sen φ Sen θ + 6ρ Cos φ = 0.

Ejemplo 2. (Esféricas a rectangulares)

Obtenga una ecuación en coordenadas cartesianas de la superficie siguiente, cuya ecuación se ha expresado en coordenadas esféricas, e identifique la superficie: ρ Cos φ = 4.

z = 4.

La grafica es un plano paralelo al plano xy ubicado 4 unidades por arriba de este.

Ejemplo 3. (Esféricas a cilíndricas)

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