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Asíntotas

La palabra asíntota, (antiguamente, "asímptota"), proviene del griego asumptotos, compuesto de "a sun pipto" : a="sin" ; sun="juntamente con" y pipto: "tocar". Así, sumpipto significa "encontrarse, reunirse" y, por tanto, nuestro término viene a significar "sin encontrarse, sin reunirse, sin tocarse". Efectivamente, en el estudio de las funciones llamamos así a una línea recta hacia la que se aproxima infinitamente la gráfica de la función, pero sin llegar a encontrarse ambas durante dicha aproximación infinita (eso no quiere decir que no puedan encontrarse en otros lugares).

Las asíntotas surgen de manera natural al estudiar el comportamiento de una función "en el infinito" de las variables. Veremos ejemplos en las actividades que siguen.

Asíntotas horizontales

Si estudiamos lo que ocurre con las imágenes cuando los valores de la variable independiente se hacen muy grandes (hablando en valor absoluto), puede ocurrir que éstas se vayan acercando a un valor determinado, y=c, sin llegar nunca a tomarlo. En tal caso, la recta y=c es una asíntota horizontal, dado que la función tiende a "pegarse" a dicha recta "en el infinito".

En el ejemplo anterior, la función y=5/(x-2) también tenía éste comportamiento, con y=0 (el eje OX) como asíntota horizontal.

Veamos una función parecida: y=5/(x+2) + 3.

Asíntotas verticales

Cuando una función no está definida en un punto b, pero para valores cercanos a dicho punto (por la derecha, por la izquierda o por ambos lados), las imágenes correspondientes se hacen cada vez más grandes en valor absoluto, estamos ante una situación en la que aparece una asíntota vertical, que es la recta x=b. Se dice que en dicho punto, la función "tiende a infinito".

En el siguiente ejemplo, consideremos la función y=5/(x-2) que no está definida en x=2, y observemos su gráfica:

Asíntotas oblicuas

Una función también puede tener una asíntota oblicua, que será una recta del tipo y=mx+n. En este caso, la función se va acercando cada vez más a la recta asíntota en el infinito.

Consideremos el siguiente ejemplo: y=x^2/(x-1)

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