Funciones Trascendentes

FUNCIONES TRASCENDENTES

1.DEFINICIÓN

Una función trascendente es una función que no satisface una ecuación polinómica cuyos coeficientes sean a su vez polinomios; esto contrasta con las funciones algebraicas, las cuales satisfacen dicha ecuación.1En otras palabras, una función trascendente es una función que trasciende al álgebra en el sentido que no puede ser expresada en términos de una secuencia finita de operaciones algebraicas de suma, resta y extracción de raíces. Una función de una variable es trascendente si es independiente en un sentido algebraico de dicha variable.

Ejemplo de funciones trascendentes son:

2. TIPOS:

2.1. FUNCIÓN EXPONENCIAL

A)Definición

La función exponencial, es conocida formalmente como la función real ex, donde e es el número de Euler, tiene la particularidad de que su derivada es la misma función. Se denota equivalentemente como f(x)=ex o exp(x), donde e es la base de los logaritmos naturales y corresponde a la función inversa del logaritmo natural.

En términos mucho más generales, una función real E(x) se dice que es del tipo exponencial en base a si tiene la forma

siendo a, K ∈ R números reales, con a > 0. Así pues, se obtiene un abanico de exponenciales, todas ellas similares, que dependen de la base a que utilicen.

La función exponencial ex puede ser definida de diversas maneras equivalentes entre sí, como una serie infinita. En particular puede ser definida como una serie de potencias:

o como el límite de la sucesión:

B) Dominio y Rango

Dominio:

Rango:

C)Propiedades:

-Es continua.

-Los puntos (0, 1) y (1, a) pertenecen a la gráfica.

-Es inyectiva a ≠ 1(ninguna imagen tiene más de un original).

-Creciente si a >1.

-Decreciente si a < 1.

-Las curvas y = ax e y = (1/a)x son simétricas respecto del eje OY.

-Son las únicas funciones que son igual a su derivada (multiplicada por una constante, en el caso de que tengan una base distinta a e)

D)Gráficos:

y=2x

E)Ejercicios:

Dadas las siguientes funciones, estudia todas sus características e indica sus asíntotas. Representa su gráfica.

f(x) = 2x g(x) = 2 - x = (1/2)x

1) Dominio:

El dominio de las funciones exponenciales es R.

Dom(f) = Dom(g) = R .

2) Recorrido:

El recorrido de las funciones exponenciales es (0, + ∞) .

Im(f) = Im(g) = (0, + ∞) .

3) Puntos de corte:

f(0) = 20 = 1 , el punto de corte con el eje Y es (0, 1).

g(0) = - 20 = 1 , el punto de corte con el eje Y es (0, 1).

Las funciones f(x) y g(x) no cortan al eje X.

4) Crecimiento y decrecimiento:

La función f(x) es creciente ya que a > 1 .

La función g(x) es decreciente ya que 0 < a < 1 .

5) Concavidad y convexidad:

Las funciones f(x) y g(x) son concavas.

6) Asíntotas:

Las funciones f(x) y g(x) tienen una asintota en el eje X.

7) Tabla de valores

F) Aplicaciones en la vida cotidiana:

Se aplica a la química y física. En algunos elementos radioactivos son de tal naturaleza que su cantidad disminuye con respecto al tiempo, se cumple la ley exponencial y se dice que el elemento decrece o decae.

En la química, el PH de una sustancia se define como : H = -Log H+, donde H+ es la concentración de iones de una sustancia expresada en moles por litro. El PH del agua destilada es 7. Una sustancia con un PH menor que 7, se dice que es ácida, mientras que su PH es mayor que 7, se dice que es base. Los ambientalistas miden constantemente el PH del agua de lluvia debido al efecto dañino de la "lluvia ácida" que se origina por las emisiones de dióxido de azufre de las fábricas y plantas eléctricas que trabajan con carbón.

Otras de la aplicación de las funciones exponencial fue con el descubrimiento del Polonio (elemento radioactivo) descubierto por Marie Curie en 1 898 decae exponencialmente de acuerdo a la función: m = m0 e-0,005t, donde m0 es la masa inicial del Polonio, m es la masa al cabo de un tiempo y t es el tiempo en días.

El crecimiento poblacional ( Demografía) de una región o población en años, parece estar sobre una curva de característica exponencial que sugiere el modelo matemático dado por: N = N0 ekt, donde N0 es la población inicial, t es el tiempo transcurrido en años y k es una constante. (En 1798, el economista inglésThomas Malthus observó que la relación N = N0 ekt era válida para determinar el crecimiento de la población mundial y estableció, además, que como la cantidad de alimentos crecía de manera lineal, el mundo no podía resolver el problema del hambre. Esta lúgubre predicción ha tenido un impacto tan importante en el pensamientoeconómico, que el modelo exponencial de crecimiento poblacional se conoce con el nombre de modelo Malthusiano).

En la medicina, muchos medicamentos son utilizados para el cuerpo humano, de manera que la cantidad presente sigue una ley exponencial de disminución.

En Matemática Financiera (Administración), para el cálculo de interés compuesto se emplean las funciones exponenciales. Por ejemplo: supongamos que se tiene cierta cantidad inicial de dinero P0 que se coloca a un interés anual del i%. Al final del primer año se tendrá el capital inicial más lo que se ha ganado de interés P0i, si este proceso se continúa por n años, la expresión que se obtiene está dada por: P= P0 (1+i)n, donde P es el capital final si los intereses se acumulan en un período de tiempo, P0 es el capital inicial, i es la tasa de interés (anual, mensual, diaria) y n es el período de tiempo (año, meses, días, etc.).

2.2 FUNCIÓN LOGARÍTMICA:

A)Definición

Dado un número real (argumento x), la función logaritmo le asigna el exponente n (o potencia) a la que un número fijo b (base) se ha de elevar para obtener dicho argumento. Es la función inversa de b a la potencia n. Esta función se escribe como: n = logb x, lo que permite obtener n.

(esto se lee como: logaritmo en base b de x es igual a n; si y sólo si b elevado a la n da por resultado a x)

Para que la definición sea válida, no todas las bases y números son posibles. La base b tiene que ser positiva y distinta de 1, luego b> 0 y b ≠ 1, x tiene que ser un número positivo x > 0 y n puede ser cualquier número real (n ∈ R).

Así, en la expresión 102 = 100, el logaritmo de 100 en base 10 es 2, y se escribe como log10 100 = 2.

B)Dominio y Rango:

C)Propiedades:

-Es continua.

-Los puntos (1, 0) y (a, 1) pertenecen a la gráfica.

-Es inyectiva (ninguna imagen tiene más de un original).

-Creciente si a>1.

-Decreciente si a<1.

-Las gráfica de la función logarítmica es simétrica (respecto a la bisectriz del 1er y 3er --cuadrante) de la gráfica de la función exponencial, ya que son funciones reciprocas o inversas entre sí.

Los logaritmos, independientemente de la base elegida, cumplen una serie de propiedades comunes que los caracterizan. Así, logaritmo de su base es siempre 1; logb b = 1 ya que b1 = b. El logaritmo de 1 es cero (independientemente de la base); logb 1=0 ya que b0 = 1.

Si el número real a se encuentra dentro del intervalo 0 < a < 1 entonces logb a da un valor negativo o se dice que es un logaritmo negativo. Es evidente, ya que si logaritmo de 1 es cero, entonces valores reales menores que uno serán negativos por ser la función logarítmica estrictamente creciente y cuyo recorrido es (-∞, +∞). También se puede demostrar usando la identidad logarítmica logb(x/y)=logb x - logb y; puesto que a pertenece al intervalo 0 < a < 1, su inverso a-1 será mayor que uno, con lo que logb(a)=logb(1/a-1) = logb 1 - logb(a-1)= -logb(a-1).

Los números negativos no tienen logaritmo en el cuerpo de los reales R, ya que cualquiera que sea el exponente n, se tendrá siempre que bn será mayor que cero, bn > 0; en consecuencia, no hay ningún valor real de n que pueda satisfacer bn = x cuando x sea menor que 0. Sin embargo, este obstáculo se puede salvar, ampliando el dominio de definición al cuerpo de los números complejos C, pudiendo calcular logaritmos de números negativos usando el logaritmo complejo o recurriendo a la fórmula de Euler.

Las potencias consecutivas de una base forman una progresión geométrica y la de los exponentes una progresión aritmética. Por ejemplo, las potencias de 2 son 1,2,4,8,16,32,64,..., etc. y sus exponentes serán 0, 1, 2, 3, 4,..., etc. ya que 20 = 1, 21 = 2, 22 = 4, 23 = 8, y 24 = 16, etc. luego log2 1 = 0, log2 2 = 1, log2 4 = 2, log2 8 = 3 y log216 = 4, etc.

D)Gráficos:

E)Ejercicios:

Despejar las incógnitas:

Solución:

esto es equivalente a

entonces concluimos que

esto es equivalente a

entonces

esto es equivalente a

entonces encontramos que

F) Aplicaciones en la vida cotidiana:

La función logarítmica en la actualidad cumplen funciones muy importantes por ejemplo: La geología como ciencia requiere del planteamiento de ecuaciones logarítmicas para el cálculo de la intensidad de un evento, tal como es el caso de un sismo. La magnitud R de un terremoto está definida como R= Log (A/A0) en la escala de Richter, donde A es la intensidad y A0 es una constante. (A es la amplitud de un sismógrafo estándar, que está a 100 kilómetros del epicentro del terremoto).

Los astrónomos para determinar una magnitud estelar de una estrella o planeta utilizan ciertos cálculos de carácter logarítmico. La ecuación logarítmica les permite determinar la brillantez y la magnitud.

En la física la función logarítmica tiene muchas aplicaciones entre las cuales se puede mencionar el cálculo del volumen "L" en decibeles de un sólido, para el cual se emplea la siguiente ecuación L= 10 . Log (I/I0) , donde I es la intensidad del sonido (la energía cayendo en una unidad de área por segundo), I0 es la intensidad de sonido más baja que el oído humano puede oír (llamado umbral auditivo). Una conversación en voz alta tiene un ruido de fondo de 65 decibeles.

El logaritmo en base b de un número a es igual a N, si la base b elevada a N da como resultado a.

Logb a = N si bN = a Notación logarítmica

2.3 FUNCIÓN TRIGONOMETRICA:

A)Definición

En matemáticas, las funciones trigonométricas son las funciones establecidas con el fin de extender la definición de las razones trigonométricas a todos los números reales y complejos.

Las funciones trigonométricas son de gran importancia en física, astronomía, cartografía, náutica, telecomunicaciones, la representación de fenómenos periódicos, y otras muchas aplicaciones.

B)Dominio y Rango:

C)Propiedades:

Propiedades básicas de la función sen(x)

1. La función seno tiene dominio R y rango (imagen del dominio) al intervalo [-1, 1]

sen(x) : R→[-1; 1].

2. La función seno es impar, es decir sen(-x) = -sen(x).

3. La función seno tiene un periodo 2π, es decir sen(x) = sen(x + k2π),k∈Z.

4. La función seno esta acotada por 1, es decir |sen(x)|≤1.

5. La función seno tiene máximos (el 1) en x =π/2+ 2πk, k∈Z.

6. La función seno tiene mínimos (el -1) en x =3π/2+ 2πk, k∈Z.

Propiedades básicas de la función cos(x)

1. La función coseno tiene dominio R y rango (imagen del dominio) al intervalo [1,1].

cos(x) : R→ [-1,1].

2. La función coseno es par, es decir cos(-x) = cos(x).

3. La función coseno tiene un periodo 2π, es decir cos(x) = cos(x + k2π), k∈Z.

4. La función coseno esta acotada por 1, es decir |cos(x)|≤1.

5. La función coseno tiene máximos (el 1) en x = 2πk, k∈Z.

6. La función coseno tiene mínimos (el -1) en x = πk, k∈Z.

Propiedades básicas de la función tan(x)

1. La función tangente no está definida en los puntos x = π/ 2+kπ conk∈Z.

2. La función tangente tiene dominio R - { x / x = π/ 2 +kπ} y rango (imagen del dominio) a los reales R.

tan(x) R - { x / x = π/ 2 +kπ} → R.

3. La función tangente es impar, es decir tan(-x) = -tan(x).

4. La función tangente tiene un periodo π, es decir tan(x) = tan(x + kπ),k∈Z.

5. La función tangente no está acotada.

6. La función tangente no tiene máximos.

7. La función tangente no tiene mínimos.

Propiedades básicas de la función cot(x)

1. La función cotangente no está definida en los puntos x = kπ con k∈Z.

2. La función cotangente tiene dominio R – { x/ x = kπ} y rango a los reales R

tan(x) : R – { x/ x = kπ} → R.

3. La función cotangente es impar, es decir cot(-x) = -cot(x).

4. La función cotangente tiene un periodo π, es decir tan(x) = tan(x +kπ), k∈Z.

5. La función cotangente no está acotada.

6. La función cotangente no tiene máximos.

7. La función cotangente no tiene mínimos.

Propiedades básicas de la función sec(x)

1. La función secante no está definida en los puntos x = π/2+πk conk∈Z.

2. La función secante tiene dominio R – { x / x = π/2+πk} y rango (imagen del dominio) a los reales R - (-1,1)

tan(x) : R – {x/ x = π/2+ πk} → R - (-1,1).

3. La función secante es par, es decir sec(-x) = sec(x).

4. La función secante tiene un periodo 2π, es decir tan(x) = tan(x + 2kπ), k∈Z.

5. La función secante no está acotada.

6. La función secante alcanza el máximo local -1 en (2k + 1)π.

7. La función secante se alcanza el mínimo local 1 en 2kπ.

Propiedades básicas de la función csc(x)

1. La función cosecante no está definida en los puntos x = kπ con k∈Z.

2. La función cosecante tiene dominio R – { x/ x = kπ} y rango (imagen del dominio) a los reales

R - (-1,1).

csc(x) : R – { x/ x = kπ} → R - (-1,1).

3. La función cosecante es impar, es decir csc(-x) = -csc(x).

4. La función cosecante tiene un periodo 2π, es decir csc(x) = csc(x + 2kπ), k∈Z.

5. La función cosecante no está acotada.

6. La función cosecante tiene máximos locales -1, en π(3 + 4k)/2, k∈Z.

7. La función cosecante tiene mínimos locales 1, en π(1 + 4k)/2, k∈Z.

D)Gráficos:

E)Ejercicios:

Una valla rectangular de 6 mts. de altura se instala verticalmente en la parte superior de un edificio, con su base inferior a una altura de 20 mts. Si un observador está a una

distancia x del pie del edificio, exprese en función de x el ángulo subtendido por las rectas que van del ojo del observador a las bases superior e inferior de la valla.

Solución

F) Aplicaciones en la vida cotidiana:

En Topografía se puede determinar la altura de un edificio, teniendo la base y el ángulo. Por ejemplo, la torre de Pisa, fue construida sobre una base de arena poco consistente; debido a ello ésta se aparta cada vez más de su vertical. Originalmente tenía una altura de 54,6m, aproximadamente. En 1990 un observador situado a 46 m del centro de la base de la torre, determinó un ángulo de elevación de 54º a la punta de la torre, el observador para determinar al desplazamiento (hundimiento en el suelo es muy pequeño, comparado con la altura de la torre) aplicó la ley del seno para determinar el ángulo de inclinación y la ley del coseno para determinar el desplazamiento de la torre.

En Óptica, en las dispersiones en prisma o cuando un rayo de luz atraviesa una placa de cierto material.

En la Aviación, si dos aviones parten de una base aérea a la misma velocidad formando un ángulo y siguiendo en trayectorias rectas, se puede determinar la distancia que se encuentran entre los mismos.

El capitán de un barco puede determinar el rumbo equivocado del barco, siempre en línea recta, ordenando modificar el rumbo en grado para dirigirse directamente al punto destino correcto.

En la ingeniería civil: En el trazo y levantamiento en terrenos, en la construcción de estructuras exactas como armaduras principalmente, en calcular empuje hidrostático, pendientes para cuencas de agua y para el modulo de elasticidad de los materiales, con ayuda de trigonometría se obtiene el circulo de Mohr, este circulito te indica los esfuerzos y deformaciones maximizas y mínimas en una estructura, en proyección de fuerzas en cualquier DCL, en diseño, personalmente pienso que para calcular estructuras la trigonometría y los triángulos semejantes son lo mejor que te puede pasar, quien ha tenido esas horribles estructuras hiperestáticas con miles de cargas inclinadas,

En la ingeniería química: Se utiliza en los gradientes transversales de velocidades en líquidos newtonianos para determinar la viscosidad de un fluido en mecánica de fluidos.

En la ingeniería electrónica: Se utilizan funciones trigonométricas para conocer el comportamiento de series y de señales.

En la física: Una de las aplicaciones de la trigonometría la podemos encontrar en la física. En la parte de leyes de Newton al encontrar fuerzas resultantes cuando tenemos planos inclinados es un ejemplo de la trigonometría en la física.

En la astronomía: La trigonometría le permitió a Tolomeo encontrar el radio de la tierra que proyectaba un poste, así mismo permitió determinar la distancia a la luna y a algunas estrellas cercanas mediante su ángulo.

En la ciencia: Se aplica en estática, cinemática y dinámica, en corriente alterna, en magnetismo y electromagnetismo, ondas, luz y sonido, difracción e interferencia, resonancia, Astronomía, Geografía (para medir la altura de las montañas desde abajo, por ejemplo), también para medir la altura de un edificio, para calcular el ángulo de tiro para dar en el blanco.

En la vida cotidiana: La trigonometría, y en general toda la matemática, siempre está relacionada inherentemente con la vida diaria, al igual que todas las otras ciencias. Aunque no es de forma consiente, todas las personas usan trigonometría a diario y a cada instante.

*Que no seamos capaces de transcribir las sensaciones a lenguaje matemático, no significa que no las sintamos. La trigonometría ayuda a describir todos los fenómenos en los que las cosas no son paralelas ni perpendiculares.

*En algunos fenómenos físicos, en donde resulta muy complejo el análisis en tiempo, las relaciones trigonométricas son muy útiles para un enfoque denominado "análisis en frecuencia".

*En todas las ciencias físicas se emplea la trigonometría para el estudio de varios procesos, por ejemplo en los procesos llamados de Control, o en procesos eléctricos (en las "respuestas" que otorgan algunos componentes electrónicos al paso de un voltaje).

*En aeronáutico, en especial la militar, la trigonometría permite calcular con muchísima precisión el lanzamiento de un misil. Particularmente en las relaciones con un fenómeno llamado "efecto Coriolis" que influye en la trayectoria de cualquier cuerpo en la tierra.

*La trigonometría facilita el análisis de tensiones en estructuras, pues simplifica complejas formaciones en figuras geométricas simples como triángulos.

*Inclusive la trigonometría, de forma sustancial, tiene influencia en los enfoques de ciencias humanísticas, como la literatura y la filosofía, pues se pueden dislumbrar problemas cuyo análisis se simplifica con el significado de relaciones como las formas "polares" de una expresión que están bajo el principio de Euler.

*El estudio de los fenómenos meteorológicos también emplean la trigonometría para analizar las formas de las mareas, el movimiento de las masas de aire, etc.

La humanidad siempre ha sentido curiosidad por conocer distancias astronómicas, como la que ya existe entre la tierra y el Sol. A través de la semejanza de triángulos y relaciones entre los lados y ángulos de éstos. Se pueden calcular distancias inaccesibles; realizar estos cálculos, desde la época de los griegos, es la trigonometría.

2.4 FUNCIÓN HIPERBÓLICA

A)Definición:

Las funciones hiperbólicas son unas funciones cuyas definiciones se basan en la función exponencial, conectando mediante operaciones racionales y son análogas a las funciones trigonométricas . Estas son

El seno hiperbólico

El coseno hiperbólico

La tangente hiperbólica

y otras líneas:

(cotangente hiperbólica)

(secante hiperbólica)

(cosecante hiperbólica)

b)Dominio y Rango:

c)Propiedades:

Si z,w∈ℂ se cumple

C h 2 z−S h 2 z=1

Sh( z+w )=Shz Chw+Chz Shw

Ch( z+w )=Chz Chw+Shz Shw

Sh( z )=0     ⇔   z=k∏i  ,  k∈ℤ

Ch( z )=0     ⇔   z=( 2k+1 ) π 2 i  ,  k∈ℤ

e)Gráficos:

e)Ejercicios:

f) Aplicaciones en la vida Cotidiana.

Si unimos cualquier punto, P, de la hipérbola con sus focos, el ángulo que forman los radios focales con la tangente en ese punto, son iguales. (También se puede decir que la tangente es la bisectriz del ángulo que forman los radios focales).

Esta propiedad se utiliza en la construcción de espejos (de luz y sonido), pues la emisión, de luz o sonido, desde el foco se refleja en la dirección de la recta que une el otro foco con el punto.

Algunos cometas no periódicos siguen, al llegar a la cercanía del sol y al entrar en su campo gravitatorio, la trayectoria de una de las ramas de una hipérbola.

La trayectoria de una partícula alfa en el campo eléctrico producido por el núcleo de un átomo es una hipérbola.

La gráfica de la ecuación presión-volumen de un gas a una temperatura constante, es una hipérbola.

El sistema Loran de navegación es una aplicación inmediata de las propiedades de la hipérbola.

Muchas edificaciones adoptan la hipérbola en sus líneas arquitectónicas: torres en forma de hiperboloide de una hoja, edificios en forma de paraboloide hiperbólico, etc.

- Techados

- Estructuras de soporte como columnas y torres

-Columnas

-Torres

-Chimeneas

Una aplicación de la tangente hiperbólica, se da en el cálculo de la velocidad de las olas del océano. En el caso de arrastre cuadrático en la fricción de fluidos, se encuentran el coseno hiperbólico y su inverso.

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