Funciones Trascendentes

FUNCIONES TRASCENDENTES

1.DEFINICIÓN

Una función trascendente es una función que no satisface una ecuación polinómica cuyos coeficientes sean a su vez polinomios; esto contrasta con las funciones algebraicas, las cuales satisfacen dicha ecuación.1En otras palabras, una función trascendente es una función que trasciende al álgebra en el sentido que no puede ser expresada en términos de una secuencia finita de operaciones algebraicas de suma, resta y extracción de raíces. Una función de una variable es trascendente si es independiente en un sentido algebraico de dicha variable.

Ejemplo de funciones trascendentes son:

2. TIPOS:

2.1. FUNCIÓN EXPONENCIAL

A)Definición

La función exponencial, es conocida formalmente como la función real ex, donde e es el número de Euler, tiene la particularidad de que su derivada es la misma función. Se denota equivalentemente como f(x)=ex o exp(x), donde e es la base de los logaritmos naturales y corresponde a la función inversa del logaritmo natural.

En términos mucho más generales, una función real E(x) se dice que es del tipo exponencial en base a si tiene la forma

siendo a, K ∈ R números reales, con a > 0. Así pues, se obtiene un abanico de exponenciales, todas ellas similares, que dependen de la base a que utilicen.

La función exponencial ex puede ser definida de diversas maneras equivalentes entre sí, como una serie infinita. En particular puede ser definida como una serie de potencias:

o como el límite de la sucesión:

B) Dominio y Rango

Dominio:

Rango:

C)Propiedades:

-Es continua.

-Los puntos (0, 1) y (1, a) pertenecen a la gráfica.

-Es inyectiva a ≠ 1(ninguna imagen tiene más de un original).

-Creciente si a >1.

-Decreciente si a < 1.

-Las curvas y = ax e y = (1/a)x son simétricas respecto del eje OY.

-Son las únicas funciones que son igual a su derivada (multiplicada por una constante, en el caso de que tengan una base distinta a e)

D)Gráficos:

y=2x

E)Ejercicios:

Dadas las siguientes funciones, estudia todas sus características e indica sus asíntotas. Representa su gráfica.

f(x) = 2x g(x) = 2 - x = (1/2)x

1) Dominio:

El dominio de las funciones exponenciales es R.

Dom(f) = Dom(g) = R .

2) Recorrido:

El recorrido de las funciones exponenciales es (0, + ∞) .

Im(f) = Im(g) = (0, + ∞) .

3) Puntos de corte:

f(0) = 20 = 1 , el punto de corte con el eje Y es (0, 1).

g(0) = - 20 = 1 , el punto de corte con el eje Y es (0, 1).

Las funciones f(x) y g(x) no cortan al eje X.

4) Crecimiento y decrecimiento:

La función f(x) es creciente ya que a > 1 .

La función g(x) es decreciente ya que 0 < a < 1 .

5) Concavidad y convexidad:

Las funciones f(x) y g(x) son concavas.

6) Asíntotas:

Las funciones f(x) y g(x) tienen una asintota en el eje X.

7) Tabla de valores

F) Aplicaciones en la vida cotidiana:

Se aplica a la química y física. En algunos elementos radioactivos son de tal naturaleza que su cantidad disminuye con respecto al tiempo, se cumple la ley exponencial y se dice que el elemento decrece o decae.

En la química, el PH de una sustancia se define como : H = -Log H+, donde H+ es la concentración de iones de una sustancia expresada en moles por litro. El PH del agua destilada es 7. Una sustancia con un PH menor que 7, se dice que es ácida, mientras que su PH es mayor que 7, se dice que es base. Los ambientalistas miden constantemente el PH del agua de lluvia debido al efecto dañino de la "lluvia ácida" que se origina por las emisiones de dióxido de azufre de las fábricas y plantas eléctricas que trabajan con carbón.

Otras de la aplicación de las funciones exponencial fue con el descubrimiento del Polonio (elemento radioactivo) descubierto por Marie Curie en 1 898 decae exponencialmente de acuerdo a la función: m = m0 e-0,005t, donde m0 es la masa inicial del Polonio, m es la masa al cabo de un tiempo y t es el tiempo en días.

El crecimiento poblacional ( Demografía) de una región o población en años, parece estar sobre una curva de característica exponencial que sugiere el modelo matemático dado por: N = N0 ekt, donde N0 es la población inicial, t es el tiempo transcurrido en años y k es una constante. (En 1798, el economista inglésThomas Malthus observó que la relación N = N0 ekt era válida para determinar el crecimiento de la población mundial y estableció, además, que como la cantidad de alimentos crecía de manera lineal, el mundo no podía resolver el problema del hambre. Esta lúgubre predicción ha tenido un impacto tan importante en el pensamientoeconómico, que el modelo exponencial de crecimiento poblacional se conoce con el nombre de modelo Malthusiano).

En la medicina, muchos medicamentos son utilizados para el cuerpo humano, de manera que la cantidad presente sigue una ley exponencial de disminución.

En Matemática Financiera (Administración), para el cálculo de interés compuesto se emplean las funciones exponenciales. Por ejemplo: supongamos que se tiene cierta cantidad inicial de dinero P0 que se coloca a un interés anual del i%. Al final del primer año se tendrá el capital inicial más lo que se ha ganado de interés P0i, si este proceso se continúa por n años, la expresión que se obtiene está dada por: P= P0 (1+i)n, donde P es el capital final si los intereses se acumulan en un período de tiempo, P0 es el capital inicial, i es la tasa de interés (anual, mensual, diaria) y n es el período de tiempo (año, meses, días, etc.).

2.2 FUNCIÓN LOGARÍTMICA:

A)Definición

Dado un número real (argumento x), la función logaritmo le asigna el exponente n (o potencia) a la que un número fijo b (base) se ha de elevar para obtener dicho argumento. Es la función inversa de b a la potencia n. Esta función se escribe como: n = logb x, lo que permite obtener n.

(esto se lee como: logaritmo en base b de x es igual a n; si y sólo si b elevado a la n da por resultado a x)

Para que la definición sea válida, no todas las bases y números son posibles. La base

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