Desigualdades

DESIGUALDADES

En matemáticas, una desigualdad es una relación que se da entre dos valores cuando estos son distintos (en caso de ser iguales, lo que se tiene es una igualdad).

Si los valores en cuestión son elementos de un conjunto ordenado, como los enteros o los reales, entonces pueden ser comparados.

• La notación a < b significa a es menor que b;

• La notación a > b significa a es mayor que b;

estas relaciones se conocen como desigualdades estrictas, puesto que a no puede ser igual a b; también puede leerse como "estrictamente menor que" o "estrictamente mayor que".

• La notación a ≤ b significa a es menor o igual que b;

• La notación a ≥ b significa a es mayor o igual que b;

DESIGUALDADES

Las matemáticas modernas dan considerable importancia al concepto de desigualdad. Una comparación significativa entre dos cantidades puede revelar si ellas están relacionadas en alguna forma, aun cuando las relaciones puedan no ser una igualdad.

La expresión "sentencia numérica" se suele utilizar para describir una relación general que podrá ser una igualdad o una desigualdad. Si la sentencia numérica establece una igualdad es una ECUACIÓN; si establece una desigualdad es una INECUACIÓN.

Propiedades del orden de los números reales

La idea de orden o rango relativo de acuerdo con el tamaño está basada en dos conceptos intuitivos: "mayor que" 1 y "menor que". Los matemáticos usan el símbolo > para representar "mayor que" y el símbolo < para representar "menor que". Por ejemplo, la inecuación que establece que 7 es mayor que 5 se escribe simbólicamente como sigue:

7 > 5

La inecuación que establece que x es menor que 10 se escribe de este modo:

x < 10

Una "solución" de una inecuación que comprende una variable es todo número que pueda sustituirse por la variable sin cambiar la relación entre el miembro izquierdo y el miembro derecho. Por ejemplo, la inecuación x < 10 tiene muchas soluciones. Todo número negativo y todo número positivo entre 0 y 9 puede substituirse por x con buen éxito. Estas soluciones comprenden un grupo de números llamado GRUPO DE SOLUCIONES.

El SENTIDO de una desigualdad se refiere a la dirección en la cual apunta el símbolo de la desigualdad. Por ejemplo, las dos desigualdades siguientes tienen sentidos opuestos:

7 > 5

10 < 12

Propiedades de las desigualdades

Las inecuaciones pueden manejarse conforme a reglas operacionales específicas en una forma similar a la usada con las ecuaciones.

ADICIÓN

La regla para la adición es como sigue: Si a ambos miembros de una inecuación se agrega una misma cantidad, el resultado es una inecuación que tiene el mismo sentido que la original. Los siguientes ejemplos ilustran esto:

1. 5 < 8

5 + 2 < 8 + 2

7 < 10

La suma de 2 a ambos miembros no cambia el sentido de la inecuación.

2. 5 < 8

5 + ( 3) < 8 + ( 3)

2 < 5

La suma de 3 a ambos miembros no cambia el sentido de la inecuación.

La adición de una misma cantidad a ambos miembros es un método útil para resolver inecuaciones. En el siguiente ejemplo se suma 2 a ambos miembros para aislar el término x a la izquierda:

x - 2 > 6

x - 2 + 2 > 6 + 2

x > 8

MULTIPLICACIÓN

La regla para la multiplicación es así: Si ambos miembros de una inecuación se multiplican por la misma cantidad positiva, el sentido de la inecuación resultante es el mismo que el de la inecuación original. Lo cual

...