Dinámica de la partícula.

Unidad V Dinámica de la partícula.

Parte de la mecánica que estudia el movimiento de las partículas y las causas que lo produzcan.

El objetivo de la dinámica, en este sentido, es explicar y cuantificar cuáles son los factores que pueden generar un cambio en un sistema físico(un ente limitado), algo que no está definido. A través de diversas ecuaciones, de este modo los físicos pueden estimar cómo evolucionará un sistema dinámico.

1ª. Ley de Newton o Ley de Inercia.

Todo cuerpo tiende a mantener su edo. De reposo o de movimiento cte. A menos que haya una fza. Externa que lo obligue a cambiar su edo.

Matemáticamente esta ley de Nw  Se puede expresar:  para que el cuerpo este en equilibrio o con v → cte.[pic 1]

Suponiendo que tenemos una caja colocada en el piso que está en reposo para aplicar la 1ª. Ley de Nw

[pic 2]
Se considera que la caja tiene un peso llamado W, pero sabemos que para que este en equilibrio la caja  debe de haber otra fuerza N de igual magnitud pero sentido opuesto que ejerce el piso para que al hacer la   [pic 3]

[pic 4]

Pero si el cuerpo está en movimiento v → cte. también se debe cumplir la 1ª. Ley de Nw.

Suponiendo que se tiene una superficie en la cual se desplaza un objeto o persona (patinador, coche, etc.), con una velocidad determinada.[pic 5]

Si la superficie fuera totalmente lisa es decir que no haya fricción y la persona dejara de patinar y se mantuviera quieta ahí debería continuar con la misma velocidad constante, pero sabemos que no es asi porque la persona en algún momento asi deje de impulsarse va a parar, asi como en un auto cuando dejamos de acelerar sin frenarlo este se detiene porque resulta que hay una fuerza de rozamiento debido a las dos superficies que están en contacto (eso hace que se pare).  

En condiciones ideales en el espacio donde no hay fuerzas externas un  cohete o nave espacial no necesita tener fuerzas externas  que lo impulsen ya que se va desplazando libremente, es decir si va con v → cte en ese sistema se seguirá desplazando porque las fuerzas que haya en ese sistema deben ser igual a cero

Cuando se baja uno de un camión que esta en movimiento se tiene una velocidad debido a la ley de inercia o 1ª. Ley de Nw porque uno tiende a tener la velocidad del camión y eso se debe a que todo cuerpo al tener una masa tiene una inercia.

Cantidad de movimiento lineal o Momentun lineal.

Denotado  , el cual tiene un carácter vectorial, que es una propiedad de la particula.[pic 6]

Aplicando la 2ª. Ley de Nw. Que dice: La sumatoria de todas las fuerzas es igual a la masa por la aceleración que experimenta esa masa m debido a la cantidad de fuerza que está experimentando  [pic 7]

La aceleración básicamente es la razón de cambio de la velocidad en la unidad de tiempo.        [pic 8]

Sust. 2 en 1 obtenemos    [pic 9]

De la ec. 3 definimos a la cantidad: , desarrollando:  . [pic 10][pic 11]

Considerando que m=cte.   , nos queda de la ec.[pic 12][pic 13]

     Donde   [pic 14][pic 15]

Donde la cantidad   se  llamara Cantidad de movimiento lineal o momento lineal.[pic 16]

Suponiendo que una part. Describe una trayectoria (curvilínea), sabemos que la  es tg. en un punto de su trayectoria donde consideramos a la part. En un instante de tiempo t con una masa m.  [pic 18][pic 17]

Debido a esto ahora  consideramos a la part. Con una prop. Llamada cantidad de movimiento lineal ,[pic 19]

De la ec. 4   ahora podemos escribir la 2ª. Ley de Nw. [pic 20]

Como    donde: [pic 21][pic 22]

que dice: [pic 23]

[pic 24]

Nota : Los hechos experimentales han mostrado que esta expresión es completamente general sea o no sea la masa cte.

Al hacer su aplicación nos implica otra cantidad llamada Impulso denotado por [pic 25]

Supongamos que soltamos una pelota esta al llegar a una superficie rebota, analizando la pelota al llegar a la superficie llega con una  y con su masa, esto implica que tenga una cantidad de movimiento lineal, pero después del impacto la pelotita cambia la dirección de su velocidad con su masa.[pic 27][pic 26]

En base al cambio de dirección que tuvo la pelotita lo que debemos analizar es el proceso de choque o impacto, y la pregunta sería cuál?

Nos debemos preguntar  cuánto tiempo dura el choque en la superficie.

Si nos damos cuenta ese tiempo de choque es muy pequeño que puede ser de unos milisegundos, o sea lo que nos interesa es este proceso de choque el cual lo describiremos como Impulso.

Por ej.  Eso lo podemos ver cuando jugamos Beis ball al pegarle a la pelota con el bat o al jugar fut ball soccer al patear cuánto dura la pelota al contacto del bat o del pie al patearla,  al jugar pin pon o al chocar un coche siempre habrá un cambio en .[pic 28]

Esto quiere decir que hay una fza. Aplicada por la superficie en donde rebota (GRANDE) en un corto tiempo que hace que cambie la dirección o sea que hay un cambio en la cantidad de movimiento lineal [pic 29]

Analisis: A la   simplemente le llamamos  es decir:[pic 30][pic 31]

.[pic 32]

Utilizando la ec.    Para poder quitar la derivada integramos.    al desarrollar la integral obtenemos:[pic 33][pic 34]

   Donde la fuerza depende del tiempo y a esta ecuación la llamaremos Impulso, Este impulso lo podemos obtener por medio de:[pic 35]

  o de la 2ª. Parte de la ec.  =N•s[pic 36][pic 37]

∴  El cambio de   que hubo debido a una fuerza  grande en un corto tiempo es lo que definimos como impulso.[pic 38]

Desarrollando la integral obtenemos donde [pic 39]

[pic 40]

Donde .[pic 41]

                                                    Impulso no es más que una fuerza aplicada [pic 42]

                                                    grande en un tiempo muy pequeño. Es decir:

                                                    [pic 43]

Nota : para no confundir  Los dos estados antes del choque y después del choque como:[pic 44]

a).- La cantidad de movimiento en el choque como [pic 45]

b).- La cantidad de movimiento después del choque [pic 46]

Por lo tanto [pic 47]

 Principio de conservación del momento.

 Sabemos que la   que experimenta un sistema no es más que la razón de cambio de la cantidad de movimiento del sistema en la unidad de tiempo  la cual la podemos representar por:  [pic 48][pic 49][pic 50]

Haciendo la observación que la  [pic 52][pic 51]

: Si ponemos una pelotita en una mesa   [pic 53]

Observamos  que no tiene velocidad, no hay aceleración

 o sea que esta  en reposo, entonces podemos decir que

 esta la fuerza del piso que le hace la tierra, está la fuerza[pic 54]

 normal que le hace la superficie de la mesa pero ambas [pic 55]

fuerzas se anulan, entonces podemos decir que la [pic 57][pic 56]

O sea que pueden haber muchas fuerzas externas actuando sobre el sistema, pero la suma de todas ellas va a ser cero tal que el sistema este en un estado de reposo o como dice la 1ª. De Nw que se mueva con   [pic 59][pic 58]

: Si analizamos la pelotita está formado por un montón de átomos eso implica que tenga una estructura interna semejante[pic 60]

Entonces imaginemos que la pelotita está formada por esta red donde cada uno de los átomos esta interaccionando con cada uno de ellos esto implica que cada  átomo ejerza una fuerza   con respecto a cada átomo, por tanto, todo el conjunto del sistema conformado por un montón de partículas se puede representar como se ve la pelotita en reposo, no hay deformación ni movimiento entonces podemos decir que la .[pic 62][pic 61]

Para que esto se cumpla nos basamos en la 3ª.  Ley de Nw recordando que la fuerza que hace un átomo a otro átomo debe ser de igual magnitud pero sentido opuesto.          [pic 63]

[pic 64]

Aplicando este concepto a cada par de átomos que están interaccionado entre si podemos decir   se cumple porque a la pelotita no le pasa nada.[pic 65]

Ahora suponiendo   entonces la ley dice que la variación de cantidad de movimiento lineal en la unidad de tiempo será:   si esto sucede a la única conclusión que podemos llegar es una de dos que:[pic 66][pic 67]

  Donde  [pic 68][pic 69]

Ahora como la 1ª. Ley de Nw nos dice que no podemos decidir si está en reposo o si está en movimiento con velocidad constante, entonces básicamente consideramos , y si esto sucede esto implica que el momento se conserva.[pic 70][pic 71]

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