EJERCICIOS ESTUDIANTE #4, FASES 1,2,3 SUCESIONES Y PROGRESIONES
Enviado por Edwin Brand • 9 de Noviembre de 2017 • Ensayos • 1.319 Palabras (6 Páginas) • 383 Visitas
TRABAJO COLABORATIVO PASO 2
EJERCICIOS ESTUDIANTE #4, FASES 1,2,3
SUCESIONES Y PROGRESIONES
PRESENTADO POR:
CÓDIGO DEL CURSO:
TUTOR
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA (UNAD)
CÁLCULO DIFERENCIAL
CCAV DOSQUEBRADAS
EJERCICIOS ESTUDIANTE #4
FASE 1: Corresponde a dos (2) ejercicios y dos (2) problemas concernientes a sucesiones y progresiones asignados por el tutor a cada estudiante.
- De la siguiente sucesión determinar la cota inferior y/o superior.
[pic 1]
R. Primero debemos determinar si es creciente o decreciente para determinar su comportamiento, esto lo hacemos mediante una tabla de valores:
[pic 2] | 1,33 | 0,714 | 0,545 | 0,466 | 0,258 |
[pic 3] | 1 | 2 | 3 | 4 | 100 |
Vemos que mientas aumenta, disminuye, por lo tanto, es una SUCESIÓN DECRECIENTE. Ahora procedemos a determinar la Cota Inferior hallando el límite de la sucesión cuando tiende a [pic 4][pic 5][pic 6][pic 7]
= = Reemplazamos [pic 8][pic 9][pic 10]
[pic 11]
Como tenemos una condición de indeterminado, usamos el teorema de L´HOPITAL
[pic 12]
Entonces al evaluar , obtenemos la cota inferior[pic 13]
[pic 14]
Ahora para determinar la cota superior decimos que este será una constante K que sea mayor o igual a cualquier término de la sucesión.
[pic 15]
Tomamos como K el resultado mayor en la tabla anterior, ya que este cumple la condición de ser mayor o igual que los demás términos de la sucesión, y al tomarla la reemplazamos en la anterior ecuación.
[pic 16]
[pic 17]
[pic 18]
Vemos que el resultado cumple la condición de ser mayor o igual, lo probamos indicando por ejemplo que [pic 19]
[pic 20]
Cumple la condición entonces podemos decir que:
[pic 21]
- De la siguiente sucesión determine si es una sucesión monótona, y si converge o diverge. Justifique la respuesta.
[pic 22]
R. al analizar la sucesión podemos responder que esta sucesión NO ES MONOTONA, ya que al observar sus términos podemos ver que estos no reflejan que sea una sucesión creciente o decreciente, no creciente o no decreciente, no encaja en ninguna de estas, por sus características de alternar los signos entre términos, además que de no aumenta ni disminuye a medida que avanzan los términos, por lo tanto, se llega a la conclusión de que no es una sucesión monótona.
Para responder si CONVERGE O DIVERGE, evaluamos el límite de la sucesión, cuando tiende a , este es indefinido o no se puede obtener, y por ende NO CONVERGE, ahora podríamos decir que la sucesión es divergente al ser un valor indeterminado el que nos arroja el límite, pero NO ES DIVERGENTE, realmente esta sucesión es una sucesión ALTERNA OSCILANTE, no es monótona, no es acotada, no converge ni diverge.[pic 23]
- Problemas de Progresiones Aritméticas y Geométricas
Problema 20. Un peón debe depositar una carretilla de arena al pie de cada uno de los 40 árboles que están de un lado de la calzada; los árboles están a 4 metros de distancia, y el montón de arena está 10 metros antes del 1er árbol. ¿Cuántos metros habrá recorrido después de haber terminado su trabajo y vuelta la carretilla al montón de arena?
R. Primero que todo podemos decir que es una progresión aritmética, sabemos que en total son 40 términos (cantidad de árboles) y que la diferencia es 4 metros (distancia entre árboles), y sabemos que:
(ida y vuelta).[pic 24]
(ida y vuelta).[pic 25]
Basándome en la fórmula de una progresión aritmética, el término general es igual a:
[pic 26]
Reemplazamos
[pic 27]
Evaluamos en la sucesión obtenida valores
[pic 28]
[pic 29]
[pic 30]
………[pic 31]
[pic 32]
Vemos que es una progresión aritmética porque cada termino es la suma del termino anterior más una constante K.
Ahora para hallar la respuesta a la interrogante del problema, debemos realizar la sumatoria del termino general, desde el primer árbol hasta el árbol número 40, esto se hace usando la fórmula de la suma de los n primeros términos que es:
[pic 33]
Reemplazamos el ultimo termino es 40 que sería el total de términos:
[pic 34]
[pic 35]
[pic 36]
[pic 37]
[pic 38]
El peón después de terminar su trabajo y poner de vuelta la carretilla en el montón de arena recorrió 7040 metros.
Problema 23. Un pueblo que tenía 15.000 personas, no tiene hoy más que 6.561. la disminución anual ha sido la quinta parte de los habitantes. ¿Cuántos años hace que tenía 10.000 personas dicho pueblo?
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