ESTIMACIÓN DE DIFERENCIA DE MEDIAS

ESTIMACIÓN DE DIFERENCIA DE MEDIAS.

INTRODUCCIÓN

En ocasiones interesa definir un intervalo de valores tal que permita establecer cuáles son los valores mínimo y máximo aceptables para la diferencia entre las medias de dos poblaciones.

Pueden darse dos situaciones según las muestras sean o no independientes; siendo en ambos casos condición necesaria que las poblaciones de origen sean normales o aproximadamente normales:

Supóngase que se tienen dos poblaciones distintas con media μ1 y desviación estándar σ1, y la segunda con media μ2 y desviación estándar σ2. Más aún se elige una muestra aleatoria de tamaño n1 de la primera población y una muestra aleatoria independiente n2 de la segunda población; se calcula la media muestral para cada muestra y la diferencia entre dichas medias.

La colección de todas estas medias se llama distribución muestral de la diferencia de medias o la distribución muestral del estadístico Ẋ1 - Ẋ2.

OBJETIVO:

Disponemos de muestras independientes de dos poblaciones.

Queremos estimar la diferencia entre el valor medio poblacional de una variable que sigue la distribución normal en ambas poblaciones.

Por ejemplo; disponemos de un grupo de control y un grupo de tratamiento y queremos estimar la diferencia en la concentración media de un metabolito entre ambos grupos para determinar si el tratamiento consigue disminuir la concentración.

MÉTODO:

Calcular las medias y las desviaciones típicas en cada una de las muestras:

Muestra 1: N1, Ẋ1, s12

Muestra 2: N2, Ẋ2, s22

El intervalo de confianza de la diferencia de medias poblacionales será:

DESARROLLO

Seleccionamos dos muestras aleatorias independientes de tamaños n1 y n2 de dos poblaciones normales con medias μ1 y μ2 y varianzas σ21 y σ22 respectivamente. El estimador puntual de μ1 - μ2 lo da el estadístico . Se puede esperar que la distribución muestral de esté distribuida aproximadamente en forma normal, con media y desviación típica .

VARIANZAS CONOCIDAS (σ12 Y σ22)

La variable normal estándar.

caerá entre -zα/2 y zα/2 con una probabilidad (1 - α).

P(-zα/2 < Z < zα/2) = 1 - α

sustituyendo Z por la expresión anterior y siguiendo los mismos pasos que en casos anteriores, obtenemos:

Si y son las medias de muestras aleatorias independientes de tamaños n1 y n2 de poblaciones aproximadamente normales, con varianzas conocidas σ12 y σ22 respectivamente, un intervalo de confianza de (1 - α) 100% para μ1 - μ2 es:

donde zα/2 es el valor de z que tiene un área de α/2 a la derecha. Si las poblaciones son normales, el grado de confianza es exacto. Para poblaciones que no son normales, el Teorema del Límite Central proporciona una buena aproximación para muestras de tamaño razonable.

VARIANZAS DESCONOCIDAS Y MUESTRAS GRANDES (N1 + N2 ≥ 30 Y N1 ≈ N2)

Según especialistas estadísticos se puede seguir utilizando la aproximación normal, pero utilizando S12 y S22 en lugar de las varianzas correspondientes.

VARIANZAS DESCONOCIDAS PERO IGUALES Y MUESTRAS PEQUEÑAS (N1 + N2 < 30)

Aquí tenemos que pero se desconoce su valor. El estadístico a usar en este caso será:

donde Sp es

La estimación muestral Sp de la varianza poblacional debe ser un promediado de las estimaciones muestrales S12 y S22, porque aunque las varianzas poblacionales σ12 y σ22 se supongan iguales, sus estimaciones muestrales no tienen por qué serlo, ya que se obtendrán valores diferentes según las muestras tomadas.

Si

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