Ecuaciones Diferenciales

De acuerdo a la temática establecida por el curso de Ecuaciones Diferenciales; Es necesario estudiar a fondo cada tema propuesto y organizar la forma como serán resueltos teniendo en cuenta un aprendizaje autónomo y colaborativo.

En este trabajo estudiaremos la unidad uno del curso, en los cuales se establecerán temas correspondientes a introducción a las ecuaciones diferenciales, Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden y Campos de aplicación de las ecuaciones lineales de primer orden, esto tiene como fin identificar en forma clara sus conceptos para el desarrollo de cada uno de los ejercicios propuestos quedando como base para próximos estudios sobre diferentes temas ya que las matemáticas se manejan de una forma consecuenteecuación:

A.

Ecuación no lineal de orden 2

B.

Ecuación lineal de orden 2

C.

Ecuación lineal en y de orden 2

D.

Ecuación lineal de Orden 1

Las ecuaciones diferenciales lineales cumplen con las dos condiciones siguientes:

- La variable dependiente ‘y’ y todas sus derivadas son de primer grado

- Cada coeficiente depende solo de la variable independiente ‘x’

ORDEN: Se refiere a la mayor derivada que aparece en la ecuación diferencial.

2. Resuelva la siguiente ecuación diferencial por el método de variables separables:

Integramos a ambos lados

Despejamos y

Donde

3. Determine si la ecuación diferencial es exacta. Si lo es, resuélvala

Como dicha ecuación diferencial no es exacta.

4. Resolver la siguiente ecuación diferencial hallando el factor integrante:

Como primer paso verificamos que la ecuación diferencial no es exacta

Ya habiendo verificado que la ecuación no es exacta, pasamos a ver la dependencia del factor integrante:

Como se puede ver el factor integrante depende únicamente de x por lo cual:

Verificamos nuevamente que se trate de una ecuación diferencial exacta:

Con lo cual se demuestra que la ecuación diferencial ya es exacta por lo cual procedemos a su solución mediante la siguiente formula:

Si deseáramos obtener “y” tendríamos:

5. Resuelva por el método de homogéneas la siguiente ecuación diferencial:

Podemos saber si es homogénea reemplazando “ ” y “ ” si el grado de t en dy y dx es igual es homogénea.

Finalmente determinamos que la ecuación es homogénea

Proseguimos con la respectiva solución para una ecuación homogénea, realizando los siguientes reemplazos

Integramos a ambos lados

Dada la complejidad de la integral de la izquierda primero reescribimos la función sobre la cual opera la integral multiplicando y dividiendo por u:

Por cambio de variables

Reemplazando v tenemos entonces que:

Haciendo nuevamente tenemos que:

Utilizando la Euler a ambos lados obtenemos

Donde y posteriormente llamaremos

Elevamos ambos lados a la 6 potencia teniendo entonces:

Haciendo un cambio de variable para bajar el grado de la ecuación “ ” y pasando todo al lado izquierdo tenemos que:

Para la solución de la ecuación cubica utilizamos la transformación de Tschirnhaus,

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