ECUACIONES DIFERENCIALES.

I N S T I T U T O T E C N O L O G I C O

De Lázaro Cárdenas.

ECUACIONES DIFERENCIALES.

INVESTIGACION lll

(ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR).

NOMBRE DEL ALUMNO:

APELLIDO PATERNO APELLIDO MATERNO NOMBRE(S)

INFANTE BEJAR OMAR

SEMESTRE: ENERO-JUNIO DEL 2014.

CARRERA: INGENIERIA ELECTRONICA.

GRUPO: 42S.

FECHA DE ENTREGA: 30/04/2014.

Índice.

### Tema Página

3.1 Teoría preliminar 3

3.1.1 Definición de la Transformada de Laplace 3

3.1.2 Condiciones suficientes de existencia para la Transf. De Laplace 5

3.2 Transformada directa 6

3.3 Transformada inversa 8

3.4 Propiedades 9

3.4.1 Transf. de Laplace de funciones definidas por tramos 9

3.4.2 Función escalón unitario 12

3.4.3 Propiedades de la T.L. Linealidad y Teorema de Traslación 14

3.4.4 T.L. de funciones multiplicadas por tⁿ y divididas entre t 16

3.4.5 Transformada de derivadas 18

3.4.6 Transformada de integrales 20

3.4.7 Teorema de convolución 23

3.4.8 Trasformada de Laplace de una función periódica 26

3.4.9 Función Delta Dirac. 29

3.4.10 Transformada de Laplace de la función Delta de Dirac 31

3.5 Solución de ecuaciones 34

3.6 Bibliografía. 37

UNIDAD 3.- Transformada de Laplace.

3.1 Teoría preliminar

3.1.1 Definición de la Transformada de Laplace

Las transformadas de Laplace fueron formuladas para transformar una ecuación diferencial que contiene las diferenciales de una función indefinida, a partir de una ecuación t-espaciada hacia una ecuación s-espaciada que puede ser resuelta con mucha facilidad. También pueden ser utilizadas para resolver un sistema de ecuaciones diferenciales. Están dirigidas a una amplia gama de problemas de valor inicial.

Matemáticamente, la transformada de Laplace puede definirse como: “Para una función dada f(t), la transformada de Laplace se define como la integración de los productos de esa función con el núcleo de la transformación cuyos límites de integración son[0, )”.

Aquí, el kernel de la transformada es e-st, donde t es el parámetro de entrada de la función valorada real y s es el parámetro de la función compleja nueva, la cual es el resultado de la transformada de Laplace. La función de entrada se define en el intervalo cerrado [0, ). La notación convencional de la transformada de Laplace es L{f(t)} o F(s).

L[F(t)]=F(s)=∫_0^∞▒e^(-st) f(t)dt

Existen dos pre-requisitos que deben cumplirse con el fin de tener una transformada de Laplace de la función de entrada. Estos son:

1. La entrada de la función valorada real debe ser una función a trozos que esté continuamente definida por el intervalo cerrado [0, ).

2. A medida que el valor de t se aproxima a cero, la función debe alcanzar el orden exponencial. En términos simples, debe existir una constante de tres términosa, K, t donde,

|f(t)|≤K∙e^at

Sin embargo, estos dos pre-requisitos no son condiciones necesarias sino suficientes.

Una transformada de Laplace puede considerarse como un supe conjunto de la representación Fasor, ya que se compone de una parte real y una parte compleja. La parte real de la transformada de Laplace se utiliza para representar la parte transitoria, mientras que la parte compleja se utiliza para representar la respuesta de la posición estática. Sin embargo, también es posible utilizarla para modelar la tasa de variación de algún sistema.

A continuación se mencionan los pasos para aplicar la transformada de Laplace:

1. El primer paso es transformar el dominio de la ecuación diferencial dada. Esto se hace mediante la sustitución de d/ dt con s, el cual es el parámetro de la ecuación transformada.

2. Ahora, haciendo uso de la tabla Laplace transforma la función de entrada en el dominio de s.

3. Haz uso de los métodos algebraicos para combinar la función de transferencia con la función de entrada con el fin de determinar la función de salida.

4. Factoriza la función de salida con la ayuda de la técnica de fracciones parciales.

5. Ahora usa la transformada inversa y transforma el dominio de la solución de nuevo al dominio t.

3.1.2 Condiciones suficientes de existencia para la Transformada De Laplace

Antes de establecer las condiciones para la existencia de la transformada de Laplace es esencial entender dos conceptos fundamentales que constituyen la base de la transformada de Laplace. Estos son:

Función continua a trozos: Se dice que una función es a trozos o seccionalmente continua en un intervalo finito a <= t <= b si el intervalo se puede subdividir en un número finito de sub-intervalos, en cada uno de los cuales f(t) es continua y tiene límites izquierdos, así como límites derechos.

Considera una función f(t) que es continua a trozos en [a, b], pero presenta discontinuidades en algunos puntos.

Claramente, f(t) es continua en los intervalos (a, A), (A, B), (C, y), (y, D) y (D, b). También los límites derecho e izquierdo de A son,

f(A + t) = f(A + 0) = f(A)

f(A - t) = f(A - 0) = f(A)

Aquí el valor de t es siempre positivo.

Funciones de orden exponencial: Se dice que una función es de orden exponencial si existe un número real positivo M y, y un número T tal que,

|f(t)|≤M e^(∝t)

Por otra parte, f(t) es de orden exponencial si existe un tal que

lim┬(t→∞)⁡〖|f(t)|/e^αt 〗=l

Aquí l = 0 o a un número positivo infinito.

Sea f(t) es una función continua a trozos en cada intervalo finito del rango t>= 0 y es de orden exponencial cuando el valor de t se aproxima al infinito. Entonces la transformada de Laplace de f(t) existe para cada valor de s, el cual es mayor que .

El teorema anterior también puede ser probado. Puesto que f(t) es continua a trozos para e-st f(t) es integrable en cualquier intervalo finito del eje t. Además, como f(t) es de orden exponencial , tenemos que,

|f(t)|≤Me^αt

3.2 Transformada directa

Imaginemos un integral que sea de la forma,

I=∫_a^b▒〖e^(-λg(y) ) h(y)dy〗

Aquí es un valor muy grande y g(y) y h(y) son funciones continuamente diferenciables, donde la función g(y) tiene sus mínimos locales en el punto y* dentro de un intervalo par abierto (a, b) para los cuales la función es definida.

Imagina que la densidad de Y es muy alta, entonces la integral puede ser sólo un integral o puede ser una anticipación subsecuente de la función h(y). También puede ser una función que genera el momento parala distribución de la función g(y). En caso de que el valor de sea muy grande, entonces su participación hacia esta integral fundamental instiga desde las inmediaciones alrededor del punto y *.

Las declaraciones crípticas con respecto a la integral, como se ha establecido arriba, puede ser formalmente denotada en la manera de una expresión de Taylor como la función g(y) alrededor del punto y * como,

g(y) = g(y*) + g’(y*) (y – y*) + g’’(y*) (y – y*)/ 2 + …

Al hacer uso de las condiciones iniciales establecidas anteriormente que el punto y * es el punto de mínimos locales, podemos afirmar que g’(y*) = 0 y g’’(y*) es siempre mayor que cero. Por lo tanto, reescribiendo la ecuación anterior obtenemos,

g(y) - g(y*) =g’’(y*) (y – y*)/ 2 + …

Mediante la aproximación de la función h(y) linealmente en las proximidades del punto y * obtenemos,

I=e^(-λg(y^* ) ) h(y^*)√(2π/(λg''(y^*))+0)

Esto se conoce como el método de integración de Laplace el cual es utilizado para aplicar directamente la transformada de Laplace. Para determinar la transformada de Laplace de una función dada, encuentra su producto con el núcleo de la transformación el cual es e-st. En tal escenario, la función de entrada sirve como la función h(y) y - g(y), la cual es sustituida por–st.

Utilizando esta integral, las transformadas de Laplace de algunas funciones han sido derivadas, y pueden utilizar directamente en el lugar de transformar la función de t-dominio hacia una función de s-dominio. Algunas de ellas son,

1. 1 = 1/ s s> 0

2. t = 1/ s2 s > 0

3. tn= n!/ sn + 1 s > 0

4. eat = 1/ (s – a) s > a

5. sin (wt) = w/ (s2 + w2) s > 0

6. cos (wt) = s/ (s2 + w2) s > 0

7. t sin (wt) = 2ws/ (s2 + w2)2 s > 0

8. t cos (wt) = s2 - w2/ (s2 + w2)2 s > 0

3.3 Transformada inversa

Si la transformada de Laplace de una función f(t) es F(s), esto es,

L[f(t)]=F(s)

Entonces f(t) se denomina la transformada inversa de Laplace de F(s) y se escribe como,

f(t)=L^(-1) [F(s)]

Aquí L-1 es llamado el operador de la transformada inversa de Laplace. Aunque existe una fórmula de inversión compleja la cual proporciona un medio directo para determinar la transformada inversa de Laplace de una función, esta implica un conocimiento amplio de la integración compleja. Sin embargo, no es posible encontrar una transformada inversa de Laplace de todas las funciones por este camino.

Un punto interesante a destacar aquí es que la transformada inversa de Laplace de una función puede no ser única. Por ejemplo, sabemos que la transformada de Laplace de f(t) = 1 es 1/ s. Sin embargo, existe una función más para la que la transformada de Laplace resulta en el mismo término, esta es,

f(t) = 1 si 0 < t < 3

−8 si t = 3

1 si t > 3

Por lo tanto, se puede concluir que la transformada inversa de Laplace de 1/s resulta para dos funciones como se describe anteriormente. Sin embargo, entre las dos, sólo f(t) = 1 es continua, por lo tanto, f(t) = 1 es la única función que tiene la transformada de Laplace como 1/ s.

También es posible escribir una transformada inversa de Laplace en la forma de integración, la cual es llamada integral de Fourier Millen o integral Bromwich o fórmula inversa de Millen. Se trata de una integral de línea.

3.4 Propiedades

3.4.1 Transf. de Laplace de funciones definidas por tramos

Una función continua a trozos es aquella que es continua y está dividida en pedazos. Antes de sumergirnos en el concepto primero debemos entender lo que es una función continua y una función a trozos. Una función continua es aquella que no se divide en su gráfico, es decir, se define continuamente a lo largo de todo el dominio de la función. Un ejemplo de tal función sería = y2, esta es la ecuación de una parábola.

Como podemos ver en el gráfico anterior, esta no se rompe.

Y, una función a trozos es aquella que no está definida continuamente, esto es, la gráfica de la función está dividida. Un ejemplo de esto sería una función escalonada.

Como podemos observar en la imagen de arriba, la función no es continua.

Una función continua a trozos es aquella que combina los dos tipos de funciones. Esta es una combinación muy interesante, porque ¿Cómo puede una función ser continua y no continua al mismo tiempo? .El siguiente gráfico haría el concepto claro.

Como se puede observar en el ejemplo anterior, el gráfico no es continuo, pero el valor para la función está definido en cada punto, esto se debe a que en varios puntos la gráfica tiene dos valores en lugar de uno, lo cual se divide el gráfico aunque lo mantiene continuo.

Claramente, f(t) es continuo en los intervalos (a, A), (A, B), (C, y), (y, D) y (D, b). También los límites derecho se izquierdos de A son,

f(A + t) = f(A + 0) = f(A)

f(A - t) = f(A - 0) = f(A)

Aquí el valor de t siempre es positivo.

Por lo tanto, podemos concluir que una función continua a trozos se compone de números finitos de secciones de continuidad para cada sub-intervalo finito [0, t] en la gráfica de la función dada. Y el límite de la función dada es finito a medida que la función se aproxima a cada uno de los puntos continuos.

La transformada de Laplace de tal función está dada como,

F(s)=∫_0^∞▒〖e^(-st ) f(t)dt〗

Esto es, la transformada de Laplace de una función definida a trozos se obtiene en formas similar es que una función continua.

Tomemos como ejemplo una función escalón unitario. La definición de la función se da como,

f(t – k) = 0, t < k

= 1, 1 t <

Ahora, la transformada de Laplace de la función anterior puede derivarse, L{f(t)} = F(s) = e-st f(t – k) dt

F(s) = e-stdt

= [e-st/ -s

= 0 - e-sk/ -s

= e-sk/ s

3.4.2 Función escalón unitario

La función escalón unitario o función escalón unitario de Heavisid

(t - a) está definida como,

u(t-a)={█(0,t<a@1,≥a)┤

Aquí el valor de a es siempre mayor o igual que cero.

El gráfico de una función escalón unitario es parecido al siguiente,

Entonces, al observar el gráfico de la función, este se puede comparar con un interruptor que se encuentra cerca de un tiempo en particular, que abre por un tiempo y luego vuelve a cerrar.

Existen ciertas propiedades de una función escalón unitario relacionadas con la transformada de Laplace. Estas se analizan a continuación:

1.La transformada de Laplace deu(t – a) is e-as/ s. La prueba se muestra abajo.

L[u(t – a)] = e-st u(t – a) dt

= e-stu(t – a) dt + e-st u(t – a) dt

= e-st (0) dt + e-st (1) dt

= 0 + [e-st/ -s

= -(1/ s)(0 - e-st)

= e-as/ s

2. El segundo teorema de desplazamiento de la transformada de Laplace puede escribirse también en términos de la función escalón unitario, de la siguiente manera,

SiL{f(t)} = F(s) y g(t) = f(t – a) u(t – a) entonces,

L{g(t)} = e-as F(s)

O,

L[f(t – a) u(t – a)] = e-as F(s)

3.Si L{f(t)} = F(s) entonces,

L[f(t) u(t – a)] = e-as L{f(t + a)}.

La prueba se muestra abajo

.L[f(t) u(t – a)] = e-st f(t) u(t – a) dt

= e-stf(t) u(t – a) dt + e-st f(t) u(t – a) dt

= e-stf(t) (0) dt + e-st f(t) (1) dt

= 0 + e-stf(t) dt

= e-as e-sx f(x + a) dx

[Fijando t = x + a (dt = dx]

= e-as e-stf(t + a) dt

L[f(t) u(t – a)] = e-as L{f(t + a)}

En la propiedad anterior hemos tomado dos funciones, u(t) y f(t). Aquí la función f(t) tiene valor de cero cuando el valor de t es menor que cero y tiene valor de uno cuando el valor de t es mayor o igual que cero. La razón detrás de esto es, cuando f(t) = 0, entonces u(t) f(t) = 0 y cuando f(t) = f(t), entonces u(t) f(t) = 1.

La transformada de Laplace de una función escalón unitario puede definirse de forma similar que para una función periódica. Esto es porque una función escalón unitario es un caso especial de una función periódica. Por lo tanto, para calcular la transformada de Laplace de esta función, primero sustituye la definición de la función en la fórmula de la transformada de Laplace, y luego divide el integrando en los sub-intervalos como se define en la definición de la función escalón unitario y cada integrando se calcula por separado de sus respectivos límites. La solución obtenida a partir de la integración es entonces reducida para obtener el resultado final.

Demos ahora un vistazo a un ejemplo ilustrativo para entender la transformada de Laplace de una función escalón unitario.

Determina la transformada de Laplace de la función,

Sabemos que,

f(t) = 0, t < 2

= (t - 2 ) cos (t - 2 ) + 2 cos (t - 2 ), t < 2

Por lo tanto, L{f(t)} = {[(s2 – 1)/ (s2 + 1)2] + 2 [s/ (s + 1)]}

3.4.3 Propiedades de la T.L. Linealidad y Teorema de Traslación

Propiedades de la Transformada Inversa de Laplace

Similar a la transformada de Laplace, la transformada inversa de Laplace también tiene sus propias propiedades. Algunas de las propiedades más importantes se discuten a continuación:

1. Propiedad de Linealidad: Si L{f(t)} = F(s) y L{g(t)} = G(s), entonces para dos constantes cualesquiera c1 y c2 tenemos,

L-1{c1 f(t) + c2 g(t)} = c1 L-1{f(t)} + c2 L-1{g(t)}

= c1f(t) + c2 g(t)

Esto puede probarse como,

Por la propiedad de linealidad de la transformada de Laplace conocemos que,

L{c1 f(t) + c2 g(t)} = c1 F(s) +c2 G(s)

Ahora tomando la transformada inversa de Laplace en ambos lados obtenemos,

c1f(t) + c2 g(t) = L-1{c1 F(s) +c2 G(s)}

f(t) = L-1{F(s)} y,

g(t) = L-1{G(s)}

Por lo tanto, tenemos,

c1 L-1{ F(s)} +c2L-1{G(s)} = L-1{c1 F(s) +c2 G(s)}

En general tenemos,

L-1{c1 F1(s) +c2 F2(s) + … + cnFn(s)} = c1 f1(t) + c2 f2(t) + … + cnfn(t)

Donde, L{fi(t)} = Fi(s), i = 1, 2, … ,n

Se da a continuación un ejemplo que ilustra la propiedad anterior,

Calcula la transformada inversa de Laplace (s2 – 3s + 4)/ s3

Sea,

F(s) = (s2 – 3s + 4)/ s3 = (1/ s) – (3/ s2) + (4/ s3)

Entonces, f(t) = L-1{F(s)}

= L-1(1/ s) – (3/ s2) + (4/ s3)

= L-1(1/ s) +L-1(3/ s2) + L-1(4/ s3)

= L-1(1/ s) + 3L-1{(/ s2)} + 4 L-1(1/ s3)

= 1 – 3t + 4 (t2/ 2!)

= 1 – 3t + 2t2

2. Primer teorema del desplazamiento o traslación: Si L-1{F(s)} = f(t), entonces para cualquier par de constantes (reales o complejos) a,

L{F(s – a)} =eat f(t), s – a > 0

= eat L-1{F(s)}

Esto puede probarse como,

Por la propiedad del Primer teorema del desplazamiento o traslación de la transformada de Laplace conocemos que,

L{eat f(t)} = F(s – a), s – a > 0

Tomando la transformada inversa de Laplace en ambos lados obtenemos,

eat f(t) = L-1{F(s – a)}

o, L-1{F(s – a)} = eat f(t) =eat L-1{F(s)}

Se da a continuación un ejemplo que ilustra la propiedad anterior,

Calcula la transformada inversa de Laplace 1/ (s + a)n+1 n = 0, 1, …

L-1{1/ (s + a)n+1} = L-1{1/ {s - (-a)}n+1}

= e-at L-1(1/sn+1)

= e-at (tn/ n!)

3. Segundo teorema del desplazamiento o traslación:: Si L-1{F(s)} = f(t) entonces,

L-1{e-as F(s)} = f(t – a) u(t – a) ={ f(t – a), t a

{ 0, t < a

Esto puede probarse como,

Sea, si L{f(t)} = F(s) y una función g(t) es definida como,

g(t) = f(t – a), t a

= 0, t < a

= f(t – a) u(t – a)

Entonces por el Segundo teorema del desplazamiento o traslación tenemos que,

L{g(t)} = e-as F(s)

Al invertir ambos lados tenemos,

g(t) = L-1{e-as F(s)}

O, L-1{e-as F(s)} = g(t) = {f(t – a), t a

{0, t < a

= f(t – a) u(t – a)

Se da a continuación un ejemplo que ilustra la propiedad anterior,

Calcula la transformada inversa de Laplace [s/ (s2 – w2)]e-as

Sea F(s) = s/ (s2 – w2) entonces,

f(t) = L-1{F(s)} = L-1{s/ (s2 – w2)}

= cosh wt

Por la segunda propiedad de desplazamiento,

L-1{e-as F(s)} = f(t – a) u(t – a)

= L-1{e-as [s/ (s2 – w2)]}

= cos h w(t – a) u(t – a)

= {cos h w(t – a) t a

= {0, t < a

3.4.4 T.L. de funciones multiplicadas por tⁿ y divididas entre t

3.4.5 Transformada de derivadas

Al igual que en una función ordinaria, la transformada de Laplace también puede aplicarse al diferencial de una función. En tal situación, colocamos en la fórmula el diferencial de la función en el lugar de la función real para derivar la transformada de Laplace, que es,

L[f(t)]=F(s)=∫_0^∞▒〖e^(-st) f(t)dt〗

Sin embargo, mientras nos ocupamos de los diferenciales de la función,necesitamos modificar el límite inferior de integración y colocar un valor mayor que cero en el lugar de cero, como el límite inferior de integración. Esto se hace principalmente porque el cero no manipula la solución obtenida a partir de la integración, y de esta forma nos limitamos a la función clásica.

Existen, sin embargo, ciertas condiciones para que esto sea verdadero. La función real debe ser definida para la variable tiempo ty el diferencial debe existir para todos los valores mayores que cero. Asimismo, la función debe ser definida de forma continua en el intervalo [0, ). De igual manera, el diferencial de esta función debe ser una función continua a trozos para el mismo intervalo, este es, [0, ).

Y, por último, tanto la función real, así como el diferencial de la función real deben ser de orden exponencial cuando el valor de t tiende al infinito. Esto significa que deben existir dos números reales positivos M y , y un número T tal que,

|f(t)|≤Me^αt

Aquí el valor de t debe ser siempre mayor o igual que T.

Asumiendo que las condiciones anteriores son válidas para la función de entrada, entonces la transformada de Laplace del diferencial de la función real puede darse como,

L[d(f(t))/dt]=[e^(-st) f(t)]|∞¦(0+)┤+s∫_(0+)^∞▒〖e^(-st) f(t)dt〗

En la fórmula anterior podemos ver que en el lugar de cero como límite inferior de integración hemos mantenido un valor de 0 +. Esto significa que podemos mantener cualquier valor mayor que cero, en lugar de cero, y que el valor que se va a mantener en el lugar de cero no es significativo, por lo tanto, se escribe de la forma 0 +.Pero, es importante señalar que ese valor no debería ser mucho mayor que cero, porque de lo contrario, puede obtenerse una salida manipulada.

La fórmula puede reescribirse como,

[d(f(t))/dt]=sF(t)-f(0+)

La fórmula anterior es una restringida, porque es específica para el caso de la diferenciación única solamente. Aunque, también es posible extender esta para la diferenciación múltiple. Sin embargo, las condiciones anteriormente mencionadas deben cumplirse en este caso. La función real y todos los diferenciales n-1 de la función real deben ser definidos de forma continua en el intervalo [0, ) y el enésimo diferencial de esta función debe ser una función continua a trozos para el mismo intervalo, es decir, [0, ).Por lo tanto, la fórmula de la transformada de Laplace de la diferenciación múltiple de alguna función se da en forma de,

L[(d^n (f(t)))/〖dt〗^n ]=s^n F(s)-∑_(i=1)^n▒〖s^(n-1) (d^(i-1) f(t))/〖dt〗^(i-1) |t=0+┤ 〗

Ejemplo #1.- Encontrar la transformada de Laplace del diferencial.

SiL{2 } = 1/ s3/2entonces muestra que,

L{1/ } = s1/2

Sea f(t) = 2

= f’(t) = (2/ ) (1/ 2 ) = 1/

Además f(0) = 0 y F(s) = 1/ s3/2

Ahora, L{f’(t)} = s F(s) – f(0)

= L{1/ } = s(1/ s3/2) – 0

= s1/2

3.4.6 Transformada de integrales

Hasta ahora hemos estudiado la forma de determinar la transformada de Laplace de una función dada. Pero, como sabemos, existen varias operaciones que pueden realizarse en una determinada función. Una de las principales operaciones entre ellas es la integración. Como sabemos, la integración de una función nos da otra función. Por lo tanto, es esencial saber si la técnica de la transformada de Laplace puede aplicarse a la integral de una función real.

La respuesta a la pregunta anterior es afirmativa, hasta cierto punto. La cláusula de “hasta cierto punto”, se añade aquí porque esto no es cierto para todas las integrales. Existen ciertos pre-requisitos que deben ser verdaderos para obtener la transformada de Laplace de la integral de la función real.

La función real debe estar definida para la variable de tiempo t, también la función debe ser definida de forma continua en el intervalo [0, ). Asimismo, el integral de esta función debe ser una función continua a trozos para el mismo intervalo, esto es, [0, ).

Y, por último, ambas, la función real como el diferencial de la función real deben ser de orden exponencial cuando el valor de t tiende al infinito. Esto significa que deben existir dos números reales positivos M y , un número T tal que,

|f(t)|≤Me^(∝t)

Aquí el valor de t debe ser siempre mayor o igual que T.

Asumiendo que las condiciones anteriores son válidas para la función de entrada y L{f(t)} = F(s), entonces la transformada de Laplace de la integral de la función real puede darse como,

L[∫_0^t▒f(t)dt]=1/s F(s)

La fórmula anterior también puede demostrarse mediante el uso de las propiedades de la transformada de Laplace. La prueba de la fórmula está dada como,

Sea g(t) = f(t) dt

Entonces, g(0) = 0 y g’(t) = f(t)

Ahora, L{g’(t)} = s L{g(t)} – g(0)

= s L{g(t)} [dado que el valor de g(0) = 0]

O, L{g(t)} = (1/ s) L{g’(t)}

Sustituyendo los valores de g(t) y g’(t) obtenemos,

L[ f(t) dt] = (1/ s) L{f(t)}

= (1/ s) F(s)

Veamos ahora un ejemplo ilustrativo para encontrar la transformada de Laplace de la integral.

Calcula la transformada de Laplace de (1 – e-t) dt

Seaf(t) = 1 – e-t entonces,

L{f(t)} = L[1 – e-t]

= L(1) – L(e-t)

= (1/ s) – [1/ (s+ 1)]

= [1/ s (s + 1)]

= F(s)

Dado que,L[ f(t) dt] = (1/ s) F(s)

= L[ (1 – e-t) dt

= (1/ s) [1/ s (s + 1)]

= 1/ s2 (s + 1)

Apliquemos el teorema anterior a una función escalón unitario y a una función rampa para averiguar el efecto de este en ellos.

Asumamos que la transformada de Laplace de un impulso se define como (t), este es dado por (s) = 1 entonces la transformada de Laplace de la función escalón unitario se da como,

Tenemos que, (t) = (t) dt

= (s) = (1/ s) (s) = (1/ s)

De manera similar, la transformada de Laplace del signo rampa puede determinarse como,

Rampa(t) = (t) = (t) dt

Rampa(s) = (1/ s) (s) = 1/ s2

3.4.7 Teorema de convolución

Si L-1{F(s)} = f(t) y L-1{G(s)} = g(t)entonces,

L^(-1) [F(s)G(s)]=∫_0^t▒〖f(u)g(t-u)du〗

Y puede ser escrita como:

L^(-1) [F(s)G(s)]=f*g

Aquí f * g se llama la convolución de F y G. esto es llamado el teorema de convolución de la transformada de Laplace. Es una propiedad importante de la transformada de Laplace. El teorema anterior indica que puede probarse como,

A partir de la definición de la transformada de Laplace sabemos que,

L{ f(u) g(t – u) du} = e-st { f(u) g(t – u) du} dt

= e-stf(u) g(t – u) du dt

Aquí la región de integración es la parte sombreada de la siguiente figura,

Ahora, cambiando el orden de integración, tenemos la siguiente parte sombreada como la región de integración.

Entonces obtenemos,

L{ f(u) g(t – u) du} = e-stf(u) g(t – u) du dt

= f(u) { e-st g(t – u) dt} du

= fijando t – u = v obtenemos, dt = dv

= f(u) { e-s(u + v) g(v) dv} du

= { e-suf(u) du}. e-sv g(v) dv}

O, L{ f(u) g(t – u) du} = F(s) G(s)

Invirtiendo ambos lados de la ecuación obtenemos,

L-1{F(s) G(s)} = f(u) g(t – u) du

L-1{F(s) G(s)} = f * g

Existe una cantidad amplia de problemas que pueden resolverse con la ayuda del teorema de convolución. Uno de estos problemas se da aquí para hacer el concepto más claro.

Usa el teorema de convolución para determinar L-1{1/ [s2 (s + 1)2]}

Sea F(s) = 1/ s2

Y G(s) = 1/ (s + 1)2entonces,

f(t) = L-1{F(s)} = L-1(1/ s2) = t

g(t) = L-1{G(s)} = L-1(1/ (s + 1)2)

= e-t L-1(1/ s2)

= t e-t

Por lo tanto, con la ayuda del teorema de convolución podemos escribir,

L-1{1/ [s2 (s + 1)2]} = f(u) g(t – u) du

= u (t – u) e-(t – u) du

= e-t [t u eudu - u2eu du]

= e-t [t (u eu – eu) - (u2eu) + 2 u eu du]

= e-t [t {(t – 1) et + 1} – t2 et + 2(ueu – eu) ]

= e-t [t (t – 1) et + t + t2 et + 2(tet – et + 1)]

= e-t [t2 et - tet+ t - t2 et + 2tet - 2et + 2]

= e-t [tet+ t- 2et + 2]

= t + tet– 2 + 2et

El teorema de convolución tiene amplias aplicaciones en la práctica. También se utiliza en la teoría de circuitos para calcular la respuesta al impulso de un circuito concreto.

Aquí x(t) es la entrada del sistema, y(t) es la salida del sistema y h(t) es la respuesta al impulso del sistema.

Por consiguiente, la salida del sistema calculado con la ayuda de la operación de convolución está dada por,

y(t) = x(t) * h(t)

Aquí la función anterior está en el dominio de t, por lo tanto, los cálculos pueden ser algo crípticos, por esto, con el propósito de conveniencia en los cálculos, esta puede ser transformada en el dominio s. La operación de convolución en el dominio s se convierte en la operación de multiplicación.

L{a(t) * b(t)} = A(s) B(s)

3.4.8 Trasformada de Laplace de una función periódica

Se dice que una función f(t) es una función periódica de período a> 0 si,

f(t)=f(t+a)=f(t+2a)=f(t+3a)=⋯=f(t+na)

Esto significa que la gráfica de tal función a repetirá su forma para cada intervalo (na, (n + 1)a). Un ejemplo de tal función es el seno ( ),el cual es una función periódica del período 2 .

El valor de la función debe convertirse en cero en la porción negativa de la recta numérica real.

Si f(t) es una función periódica con período a entonces,

L[f(t)]=1/(1-e^(-st) ) ∫_0^a▒〖e^(-st) f(t)dt〗

Esto puede reorganizarse como,

L[f(t)]=(L[f_1 (t)])/(1-e^(-st) )

En términos simples, podemos decir que para la función periódica f(t) con período a, la transformada de Laplace es equivalente a la transformada de Laplace en un período único de esa función dividida por el término (1 - e-as).

También existe una prueba del teorema indicado arriba. Dado que f(t) es una función periódica con período a,

f(t + a) = f(t), f(t + 2a) = f(t) y así sucesivamente.

Ahora, L{f(t)} = e-st f(t) dt

= e-stf(t) dt + e-st f(t) dt + e-st f(t) dt + …

Estableciendo t = (u + a) en la segunda integral, t = (u + 2a) en el tercer integral etc. Entonces obtenemos,

= e-stf(t) dt + e-s(u + a) f(u + a) du + e-s(u + 2a) f(u + 2a) du + …

= e-suf(u) du + e-su f(u + a) du + e-2sa e-su f(u) du + …

= (1 + e-as + e-2as+ …) e-su f(u) du

= (1 - e-as)−1 e-stf(t) dt [Dado que 1 + x + x2 + … = (1 – x)−1]

L{f(t)} = [1/ (1 - e-as)] e-st f(t) dt

Por consiguiente, podemos ver que para llevar a cabo la operación de transformación de Laplace a una función periódica necesitamos romper esa función en los sub-intervalos, lo cual depende de los intervalos para los cuales la función dada está definida. La sumatoria de todas las integrales produce la transformada de Laplace para esa función.

Sin embargo, es posible aplicar directamente el teorema discutido anteriormente con propósitos de conveniencia para la solución de problemas. Se provee un ejemplo ilustrando el uso de este teorema para hacer más claro los conceptos.

Muestra que si f(t + a) = -f(t), entonces,

L{f(t)} = [1/ (1 + e-as)] e-st f(t) dt

Dado quef(t + 2a) = f[(t + a) + a)] = -f(t + a)

= -[-f(t)] = f(t)

La función f(t) dada es una función periódica con período 2a.

Ahora, utilizando el teorema para la transformada de Laplace de funciones periódicas con el período ha reemplazado por 2a tenemos que,

L{f(t)} = [1/ (1 - e-2as)] e-st f(t) dt

= [1/ (1 - e-2as)] [ e-stf(t) dt + e-st f(t) dt]

Estableciendo t = (u + a) en la segunda integral, tenemos que

L{f(t)} = [1/ (1 - e-2as)] [ e-st f(t) dt + e-s(u + a) f(u + a) du]

= [1/ (1 - e-2as)] [ e-stf(t) dt – e-as e-su f(u) du]

= [(1 - e-as)/ (1 - e-2as)] e-stf(t) dt

L{f(t)} = [1/ (1 + e-as)] e-st f(t) dt

3.4.9 Función Delta Dirac.

Las funciones delta de Dirac son las funciones que ejercen una enorme cantidad de fuerza sobre un objeto, por una gran cantidad de tiempo. Aunque a veces una función escalonada unitaria es comparada con una función fuerza, la comparación no es muy adecuada dado que la cantidad de fuerza ejercida por ellas es muy limitada. Una función delta de Dirac es una diferencial de la función escalón unitario. Esta puede entenderse como secuencias delta de funciones de fuerza generalizadas.

d/dt [H(t)]=δ(t)

Esto implica que la función delta de Dirac no es una función real sino que es una distribución que se extiende por un intervalo definido para la función dada. También es llamada una función singular. Como tal, no existe una definición formal de esta función. Pero puede ser definida mediante utilizar la propiedad de la propia función, la cual es,

δ(t)=(0,t≠0)¦(∞,t=0)

En términos simples, podemos decir que una función delta de Dirac es aquella cuya salida se calcula a cero para cada valor del argumento de entrada, excepto cuando el valor del argumento de la función en sí es igual a cero. Aquí el argumento de la función es un parámetro valorado real. La integral de la función en el rango de parámetros (- , ) es uno. A la luz de la afirmación anterior, podemos concluir que esta es una función real desde el punto de vista matemático, ya que para cualquier función real cuyo valor es constante, excepto en un punto, el valor de la integral debe calcularse a cero, el cual no es este caso.

La gráfica de la función se vería algo así como:

Debido a esta propiedad de la función, es ampliamente utilizada para modelar el sistema que experimenta fuerzas extremas repentinas.

Una propiedad muy importante de esta función es,

∫▒f(t)δ (t)dt=f(o)

En este caso, sabemos que la función (t) toma el valor de cero para todos los valores de t, excepto en t = 0. Esto implica que el valor de la función f(t) también se vuelve insignificante, excepto cuando el argumento tde la función se convierte en cero. En tal situación, tenemos el valor del integrando f(0) (t), f(0)que puede tomarse fuera dado que se convierte en una constante, haciéndolo de esta manera obtenemos el lado derecho de la ecuación.

Por lo tanto, podemos pensar en (t) dt como el operador funcional que saca el valor de la función cuando el argumento de la función es igual a cero.

Otra forma popular de definir una función delta de Dirac es una medida, ya que la función delta de Dirac tiene como su argumento un subconjunto de los números reales S, es decir, S R. Aquí, el valor de S es cero cuando la salida de la función es uno o infinita y en otro caso, el subconjunto S puede tomar elementos infinitos.

Ejemplo # 2.- Función delta de Dirac.

Resuelve y’ + 2y’ – 15y = 6 (t – 9) dados y(0) = −5 ey’(0) = 7

Aplicando la transformada de Laplace para la función dada obtenemos,

s2Y(s) – sy(0) – y’(0) + 2(sY(s) – y(0)) – 15Y(s) = 6e-9s

= (s2 + 2s – 15)Y(s) + 5s + 3 = 6e-9s

Resolviendo la ecuación anterior obtenemos,

Y(s) = 6e-9s F(s) – G(s)

Ahora haciendo uso de las fracciones parciales para obtener la transformada inversa de Laplace como,

F(s) = 1/ [(s + 5) (s – 3)]

= [(1/ 8)/ (s – 3)] – [(1/ 8)/ (s + 5)]

f(t) = (1/8) e3t - (1/8)e-5t

G(s) = [5s + 3/(s + 5) (s – 3)]

= [(9/4)/ (s – 3)] + [(11/4)/ (s + 5)]

f(t) = (9/4) e3t - (11/4)e-5t

Por lo tanto, la solución es

Y(s) = 6e-9s F(s) – G(s)

y(t) = 6u9(t) f(t – 9) – g(t)

3.4.10 Transformada de Laplace de la función Delta de Dirac

Una función delta de Dirac es una función especial cuyo valor es cero en todos los puntos, excepto en un punto, este es cuando el argumento de la función es igual a cero. Esto se denota como,

δ(t)=(0,t≠0)¦(∞,t=0)

Cambiemos la función delta de Dirac por una constante, digamos c. Entonces ahora la definición de esta función delta de Dirac desplazada es,

(t – c) = 0, t <> c

= , t = c

Esto es sólo una pseudo definición de la función. Ahora bien, si derivamos el área de la función para los límites de integración (- , ), y resulta ser uno, esto es, (t – c) dt = 1

Se trata de una derivación importante y está también nos da la noción de pseudo infinidad, como en la definición función delta de Dirac desplazada. Aquí, la palabra pseudo se utiliza ya que pueden existir diferentes medidas del infinito mediante tomar un producto del infinito con un número entero. Para entenderlo, integremos el producto de la función delta de Dirac y un entero, digamos dos para los mismos límites de integración, esto es, (- , ).

2 (t – c) dt

Uno podría suponer que la salida de la integración debería ser igual a dos, ya que,

= 2 (t – c) dt

= (2) (1)

= 2

Es decir, si la función delta de Dirac se multiplica por dos, el infinito sería dos veces más grande que antes.

Ahora, multiplicando la función delta de Dirac desplazada por alguna otra función, digamos f(t) y tomando la transformada de Laplace de esta, es decir,

L{ (t – c) f(t)}

En el caso de que uno desee determinar únicamente la transformada de Laplace de la función delta de Dirac desplazada, asumimos que el valor de f(t) es uno.

Esto es, tenemos,

e-st f(t) (t – c) dt

Como sabemos, el proceso de integración nos da el área de la función que está siendo integrada. Por lo tanto, primero dibujemos el área de las dos funciones para averiguar qué área estamos determinando realmente. Mientras lo hacemos, asume que f(t) es arbitrario. Por tanto, tenemos el gráfico de la función como,

Aquí se dibuja una línea recta donde t = c ya que el valor de la función delta de Dirac es siempre cero, excepto en t = c. Por lo tanto, el espacio común de las dos curvas, cuyo valor será determinado por la operación de integración viene a ser un solo punto, el cual es el punto de intersección de las dos curvas, y el valor de la primera función en ese punto en será e-sc f©. Este es sólo un punto, el cual tiene un valor constante.

En consecuencia, tenemos un término constante dentro de la operación de integración que se puede mover fuera y, por lo tanto, quedamos con,

e-sc f© (t – c) dt

Como sabemos, el valor de la integral (t – c) dtes uno, por esto, la transformada de Laplace de la función delta de Dirac desplazada es e-sc f©. Esto nos da la transformada de Laplace de la función delta de Dirac, donde el valor de c = 0 y f(t) = 1, como,

L{ (t)} = e0 (1) = 1

L{ (t - c)} = e-cs (1) = e-cs

3.5 Solución de ecuaciones

La transformada de Laplace es especialmente útil para obtener la solución de las ecuaciones diferenciales ordinarias no homogéneas con coeficientes constantes, donde todas las condiciones de contorno se dan para la función desconocida y sus diferencias en un solo punto. El procedimiento de trabajo de la misma es la siguiente:

Sea el problema de valores iniciales dado como,

(〖a^'〗^2 y)/a^('i^2 ) +a_1 dy/di+a_2 y=f(t)

Donde y(0) = k0 e y’(0) = k1. Además a1, a2, k0, k1son todos constantes y f(t) es función de t solamente.

1. Aplicando la transformada de Laplace en ambos lados de la ecuación (i) tomando en cuenta que

L(d2y/ dt2) = s2Y(s) – sy(0) – y’(0) y,

L(dy/ dt) = sY(s) – y(0)

Donde, Y(s) = L{y(t)} e F(s) = L{f(t)}

Entonces, la ecuación (i) produce,

[s2Y(s) – sy(0) – y’(0)] + a1[sY(s) – y(0)] + a2Y = F(s)

Ahora, haciendo uso de las condiciones iniciales tenemos que,

(s2 + a1s + a2) Y(s) = F(s) + sk0 + k1 + a1k0 (ii)

2. Resuelve la ecuación (ii) y luego expresa el lado derecho como una sumatoria de fracciones parciales.

Aplica la transformada inversa de Laplace a Y(s), obtenida en el paso anterior. Esto dará la solución de la ecuación dada (i) con condiciones iniciales,

y(t) = L-1{Y(s)}

El procedimiento anterior también puede aplicarse a las ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior.

Ahora demos un vistazo a un ejemplo ilustrativo en la categoría anterior.

Resuelve y’’ + 2y’ + 5y = e-t sin (t) dados y(0) = 0 e y’(0) = 1.

Al tomar la transformada de Laplace de ambos lados conseguimos,

L{y’’} + L{2y’} + L{5y} = L{e-t sin (t)}

O, [s2Y(s) – sy(0) – y’(0)] + 2[sY(s) – y(0)] + 5Y = [1/ ((s + 1)2 + 1)]

Usando y(0) = 0 e y’(0) = 1 tenemos,

(s2 + 2s + 5) Y(s) – 1 = [1/ (s2 + 2s + 2)]

Y(s) = [1/ (s2 + 2s + 2) (s2 + 2s + 2)] + [1/ (s2 + 2s + 2)]

= (1/ 3) {[1/ (s2 + 2s + 2)] – [1/ (s2 + 2s + 2)]} + [1/ (s2 + 2s + 2)]

= (1/ 3) [1/ (s2 + 2s + 2)] + (2/ 3) [1/ (s2 + 2s + 2)]

= (1/ 3) [1/ ((s + 1)2 + 1)] + (2/ 3) [1/ ((s + 1)2 + 4)]

Invirtiendo ambos lados tenemos,

y(t) = (1/ 3) L-1[1/ ((s + 1)2 + 1)] + (2/ 3) L-1[1/ ((s + 1)2 + 4)]

= (1/ 3) e-t L-1[1/ (s2 + 1)] + (2/ 3) e-t L-1[1/ (s2 + 4)] [Utilizando el primer teorema de desplazamiento]

= (1/ 3) e-t sin (t) + (1/ 3) e-t sin (2t)

= (1/ 3) e-t (sin (t) + sin (2t))

La transformada de Laplace también puede utilizarse para resolver un sistema de n ecuaciones diferenciales ordinarias simultáneas en n variables dependientes, las cuales son funciones de la variable independiente t.

Considera un sistema de dos ecuaciones diferenciales ordinarias simultáneas en dos variables dependientes x e y, las cuales son funciones de t.

(a1D2 + a2D + a3)x + (a4D2 + a5D + a6)y = f1(t)

(b1D2 + b2D + b3)x + (b4D2 + b5D + b6)y = f2(t)

Aquí D = (d/ dt) y las condiciones iniciales son x(0) = c1, x’(0) = c2, y(0) = c3, y’(0) = c4. También ai(i = 1, ), bi(i = 1, ), ci(i = 1, ) son constantes. El procedimiento de trabajo de la misma es la siguiente:

1. Aplicando la transformada de Laplace a ambos lados de las dos ecuaciones diferenciales ordinarias dadas, obtenemos

{a1[s2X(s) – sx(0) – x’(0)] + a2[sX – x(0)] + a3X} + {a4[s2Y(s) – sy(0) – y’(0)] + a5[sY – y(0)] + a6Y} = F1(s)

{b1[s2X(s) – sx(0) – x’(0)] + b2[sX – x(0)] + b3X} + {b4[s2Y(s) – sy(0) – y’(0)] + b5[sY – y(0)] + b6Y} = F2(s)

Bibliografía.

Ecuaciones diferenciales. Dennis G. Zill. Mc Graw Hill.

Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado 8ª. Ed. Dennis G. Zill

Ecuaciones diferenciales. Edwars C. H

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