ECUACIONES DIFERENCIALES.

I N S T I T U T O T E C N O L O G I C O

De Lázaro Cárdenas.

ECUACIONES DIFERENCIALES.

INVESTIGACION lll

(ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR).

NOMBRE DEL ALUMNO:

APELLIDO PATERNO APELLIDO MATERNO NOMBRE(S)

INFANTE BEJAR OMAR

SEMESTRE: ENERO-JUNIO DEL 2014.

CARRERA: INGENIERIA ELECTRONICA.

GRUPO: 42S.

FECHA DE ENTREGA: 30/04/2014.

Índice.

### Tema Página

3.1 Teoría preliminar 3

3.1.1 Definición de la Transformada de Laplace 3

3.1.2 Condiciones suficientes de existencia para la Transf. De Laplace 5

3.2 Transformada directa 6

3.3 Transformada inversa 8

3.4 Propiedades 9

3.4.1 Transf. de Laplace de funciones definidas por tramos 9

3.4.2 Función escalón unitario 12

3.4.3 Propiedades de la T.L. Linealidad y Teorema de Traslación 14

3.4.4 T.L. de funciones multiplicadas por tⁿ y divididas entre t 16

3.4.5 Transformada de derivadas 18

3.4.6 Transformada de integrales 20

3.4.7 Teorema de convolución 23

3.4.8 Trasformada de Laplace de una función periódica 26

3.4.9 Función Delta Dirac. 29

3.4.10 Transformada de Laplace de la función Delta de Dirac 31

3.5 Solución de ecuaciones 34

3.6 Bibliografía. 37

UNIDAD 3.- Transformada de Laplace.

3.1 Teoría preliminar

3.1.1 Definición de la Transformada de Laplace

Las transformadas de Laplace fueron formuladas para transformar una ecuación diferencial que contiene las diferenciales de una función indefinida, a partir de una ecuación t-espaciada hacia una ecuación s-espaciada que puede ser resuelta con mucha facilidad. También pueden ser utilizadas para resolver un sistema de ecuaciones diferenciales. Están dirigidas a una amplia gama de problemas de valor inicial.

Matemáticamente, la transformada de Laplace puede definirse como: “Para una función dada f(t), la transformada de Laplace se define como la integración de los productos de esa función con el núcleo de la transformación cuyos límites de integración son[0, )”.

Aquí, el kernel de la transformada es e-st, donde t es el parámetro de entrada de la función valorada real y s es el parámetro de la función compleja nueva, la cual es el resultado de la transformada de Laplace. La función de entrada se define en el intervalo cerrado [0, ). La notación convencional de la transformada de Laplace es L{f(t)} o F(s).

L[F(t)]=F(s)=∫_0^∞▒e^(-st) f(t)dt

Existen dos pre-requisitos que deben cumplirse con el fin de tener una transformada de Laplace de la función de entrada. Estos son:

1. La entrada de la función valorada real debe ser una función a trozos que esté continuamente definida por el intervalo cerrado [0, ).

2. A medida que el valor de t se aproxima a cero, la función debe alcanzar el orden exponencial. En términos simples, debe existir una constante de tres términosa, K, t donde,

|f(t)|≤K∙e^at

Sin embargo, estos dos pre-requisitos no son condiciones necesarias sino suficientes.

Una transformada de Laplace puede considerarse como un supe conjunto de la representación Fasor, ya que se compone de una parte real y una parte compleja. La parte real de la transformada de Laplace se utiliza para representar la parte transitoria, mientras que la parte compleja se utiliza para representar la respuesta de la posición estática. Sin embargo, también es posible utilizarla para modelar la tasa de variación de algún sistema.

A continuación se mencionan los pasos para aplicar la transformada de Laplace:

1. El primer paso es transformar el dominio de la ecuación diferencial dada. Esto se hace mediante la sustitución de d/ dt con s, el cual es el parámetro de la ecuación transformada.

2. Ahora, haciendo uso de la tabla Laplace transforma la función de entrada en el dominio de s.

3. Haz uso de los métodos algebraicos para combinar la función de transferencia con la función de entrada con el fin de determinar la función de salida.

4. Factoriza la función de salida con la ayuda de la técnica de fracciones parciales.

5. Ahora usa la transformada inversa y transforma el dominio de la solución de nuevo al dominio t.

3.1.2 Condiciones suficientes de existencia para la Transformada De Laplace

Antes de establecer las condiciones para la existencia de la transformada de Laplace es esencial entender dos conceptos fundamentales que constituyen la base de la transformada de Laplace. Estos son:

Función continua a trozos: Se dice que una función es a trozos o seccionalmente continua en un intervalo finito a <= t <= b si el intervalo se puede subdividir en un número finito de sub-intervalos, en cada uno de los cuales f(t) es continua y tiene límites izquierdos, así como límites derechos.

Considera una función f(t) que es continua a trozos en [a, b], pero presenta discontinuidades en algunos puntos.

Claramente, f(t) es continua en los intervalos (a, A), (A, B), (C, y), (y, D) y (D, b). También los límites derecho e izquierdo de A son,

f(A + t) = f(A + 0) = f(A)

f(A - t) = f(A - 0) = f(A)

Aquí el valor de t es siempre positivo.

Funciones de orden exponencial: Se dice que una función es de orden exponencial si existe un número real positivo M y, y un número T tal que,

|f(t)|≤M e^(∝t)

Por otra parte, f(t) es de orden exponencial si existe un tal que

lim┬(t→∞)⁡〖|f(t)|/e^αt 〗=l

Aquí l = 0 o a un número positivo infinito.

Sea f(t) es una función continua a trozos en cada intervalo finito del rango t>= 0 y es de orden exponencial cuando el valor de t se aproxima al infinito. Entonces la transformada de Laplace de f(t) existe para cada valor de s, el cual es mayor que .

El teorema anterior también puede ser probado. Puesto que f(t) es continua a trozos para e-st f(t) es integrable en cualquier intervalo finito del eje t. Además, como f(t) es de orden exponencial , tenemos que,

|f(t)|≤Me^αt

3.2 Transformada directa

Imaginemos un integral que sea de la forma,

I=∫_a^b▒〖e^(-λg(y) ) h(y)dy〗

Aquí es un valor muy grande y g(y) y h(y) son funciones continuamente diferenciables, donde la función g(y) tiene sus mínimos locales en el punto y* dentro de un intervalo par abierto (a, b) para los cuales la función es definida.

Imagina que la densidad de Y es muy alta, entonces la integral puede ser sólo un integral o puede ser una anticipación subsecuente de la función h(y). También puede ser una función que genera el momento parala distribución de la función g(y). En caso de que el valor de sea muy grande, entonces su participación hacia esta integral fundamental instiga desde las inmediaciones alrededor del punto y *.

Las declaraciones crípticas con respecto a la integral, como se ha establecido arriba, puede ser formalmente denotada en la manera de una expresión de Taylor como la función g(y) alrededor del punto y * como,

g(y) = g(y*) + g’(y*) (y – y*) + g’’(y*) (y – y*)/ 2 + …

Al hacer uso de las condiciones iniciales establecidas anteriormente que el punto y * es el punto de mínimos locales, podemos afirmar que g’(y*) = 0 y g’’(y*) es siempre mayor que cero. Por lo tanto, reescribiendo la ecuación anterior obtenemos,

g(y) - g(y*) =g’’(y*) (y – y*)/ 2 + …

Mediante la aproximación de la función h(y) linealmente en las proximidades del punto y * obtenemos,

I=e^(-λg(y^* ) ) h(y^*)√(2π/(λg''(y^*))+0)

Esto se conoce como el método de integración de Laplace el cual es utilizado para aplicar directamente la transformada de Laplace. Para determinar la transformada de Laplace de una función dada, encuentra su producto con el núcleo de la transformación el cual es e-st. En tal escenario, la función de entrada sirve como la función h(y) y - g(y), la cual es sustituida por–st.

Utilizando esta integral, las transformadas de Laplace de algunas funciones han sido derivadas, y pueden utilizar directamente en el lugar de transformar la función de t-dominio hacia una función de s-dominio. Algunas de ellas son,

1. 1 = 1/ s s> 0

2. t = 1/ s2 s > 0

3. tn= n!/ sn + 1 s > 0

4. eat = 1/ (s – a) s > a

5. sin (wt) = w/ (s2 + w2) s > 0

6. cos (wt) = s/ (s2 + w2) s > 0

7. t sin (wt) = 2ws/ (s2 + w2)2 s > 0

8. t cos (wt) = s2 - w2/ (s2 + w2)2 s > 0

3.3 Transformada inversa

Si la transformada de Laplace de una función f(t) es F(s), esto es,

L[f(t)]=F(s)

Entonces f(t) se denomina la transformada inversa de Laplace de F(s) y se escribe como,

f(t)=L^(-1) [F(s)]

Aquí L-1 es llamado el operador de la transformada inversa de Laplace. Aunque existe una fórmula de inversión compleja la cual proporciona un medio directo para determinar la transformada inversa de Laplace de una función, esta implica un conocimiento amplio de la integración compleja. Sin embargo, no es posible encontrar una transformada inversa de Laplace de todas las funciones por este camino.

Un punto interesante

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