Ejercicios MAE

EJERCICIOS DE MUESTREO ESTRATIFICADO

1. (Ejercicio 10, relación tema 3) De una ciudad con 350 casas, se sabe que 164 de ellas tienen calefacción eléctrica. Al realizar una encuesta sobre el consumo de energía (en kilovatios-hora) se obtuvieron los siguientes resultados:

Tipo Calefacción Nº casas Media muestral Cuasivarianza muestral

Eléctrica 24 972 202,396

No eléctrica 36 463 96,721

a. Obtenga una estimación del número medio de kilovatios-hora utilizado en la ciudad. Dé un límite para el error de estimación.

b. Obtenga una estimación del número medio de kilovatios-hora utilizado por las casas que no tienen calefacción eléctrica. Dé un límite para el error de estimación.

Sea:

X: consumo de energía

Se sabe que:

Con los datos de la tabla anterior obtenemos la tabla:

Tipo de calefacción N_h n_h x ̅_h S_h^2 (N_h-n_h)/N_h

Eléctrica 164 24 972 202.396 0.854

No eléctrica 186 36 463 96.721 0.806

N=350

Se pregunta:

x ̅_st=? , B=LEE(x ̅_st)=?

x ̅_2=?- estimación media del número de kilovatios-hora utilizado por las casas que no tienen calefacción eléctrica. ,B_2=LEE(x ̅_2 )=?

Solución:

Se usa la fórmula: x ̅_st=∑_(h=1)^2▒N_h/N x ̅_h

Entonces al reemplazar los valores se obtiene:

x ̅_st=164/350 (972)+186/350 (463)=701.5

Para calcular V ̂(x ̅_st) se usa la fórmula:

V ̂(x ̅_st )=1/N^2 ∑_(h=1)^2▒〖N_h^2 (S_h^2)/n_h (N_h-n_h)/N_h 〗

Al reemplazar los valores conocidos se tiene que:

V ̂(x ̅_st )=1/〖350〗^2 〖164〗^2 202.396/24(0.854)+ 1/〖350〗^2 〖186〗^2 96.721/36(0.806)=2.19

Por lo tanto, B=2√2.19=2.96

Por la información de la tabla se sabe que: x ̅_2=463, entonces:

V ̂(x ̅_2 )=(S_2^2)/n_2 (N_2-n_2)/N_2

Al reemplazar valores se tiene:

V ̂(x ̅_2 )=96.721/36(0.806)=2.17

Luego: B_2=2√2.17=2.94

2. (Ejercicio 11, relación tema 3) Un analista de la opinión pública tiene un presupuesto de 20.000 euros para realizar una encuesta sobre el número medio de coches por hogar. Se sabe que de los 10.000 hogares de la ciudad, 9.000 tienen teléfono. Las entrevistas por teléfono cuestan 10 euros por hogar llamado y las entrevistas personales cuestan 30 euros por hogar visitado. Suponga que las varianzas en los estratos con y sin teléfono son iguales. Con el objetivo de minimizar el límite de error de estimación ¿Cuántos hogares deben ser entrevistados en cada estrato si los hogares que cuentan con servicio telefónico son entrevistados por teléfono y los hogares sin teléfono son entrevistados personalmente?

Sea:

X: número de carros por hogar

X_1: Número de hogares que tienen teléfono

X_2: Número de hogares que no tienen teléfono

Se sabe que:

C= 20000, además con los datos del ejercicio se construye la tabla:

Estrato N_h √(c_h ) N_h/√(c_n ) N_h √(c_h ) w_h=(N_h √(c_h ))/(∑_(h=1)^2▒N_h/√(c_n ))

Con teléfono 9000 √10 2846.05 28460.5 2846.05/3028.624=0.9397

Sin teléfono 1000 √30 182.574 5477.226 182.574/3028.624=0.0603

N=10000 3028.624 33937.726 1

Se pregunta:

n=?- número de hogares entrevistados

n_1=?- número de hogares que son entrevistados por teléfono

n_2=?- número de hogares que son entrevistados personalmente.

Solución:

Para hallar n se utiliza la fórmula:

n=(C∑_(h=1)^2▒N_h/√(c_n ))/(∑_(h=1)^2▒〖N_h √(c_h )〗)=(20000×3028.624)/33937.726=1784.81

Para hallar n_1 se utiliza la fórmula:

n_1=nw_1

Al reemplazar los valores se obtiene:

n_1=1784.81×0.9397=1677.2≈1677

Para hallar n_2 se utiliza la fórmula:

n_2=nw_2

Al reemplazar los valores se obtiene:

n_2=1784.81×0.0603=107.62≈107

Entonces el número de hogares entrevistados por teléfono son 1677 y el número de hogares entrevistados personalmente son 107.

3. (Ejercicio 12, relación tema 3) Se desea conocer el número de fines de semana que las familias de una gran ciudad salen fuera de ella. Se sabe que el 42.5% de las familias tienen de 0 a 2 hijos, el 30% tienen de 3 a 5 hijos y el 27.5% tienen más de 5 hijos. Se realizó un muestreo según el número de hijos y se preguntó a las familias sobre los fines de semana que pasan fuera, obteniéndose los siguientes datos:

Número de hijos n_i ∑_(i=1)^n▒y_i s_i^2

0-2 25 239 60.76

3-5 19 174 63.01

Más de 5 16 78 78.24

Estimar el número medio de fines de semana que las familias pasan fuera de la ciudad y dar el límite de error de estimación. Omitir el corrector por población finita.

Sea:

Y: número de fines de semana que las familias de una gran ciudad salen fuera de ella.

Y_1:Familias que tienen de 0-2 hijos

Y_2: Familias que tienen de 3-5 hijos

Y_3: Familias que tienen más de 5 hijos.

Se sabe que:

N_1=42.5%, N_2=30 % ,N_3=27.5% además de los datos que se muestran en la tabla.

Se pregunta:

y ̅_st=?-número medio de fines de semana que las familias pasan fuera de la ciudad

B=?- límite de error de estimación

Solución:

Hallemos y ̅_1 , y ̅_2 , y ̅_3:

y ̅_1=y_1/n_1 =239/25=9.56

y ̅_2=y_2/n_2 =174/19=9.16

y ̅_3=y_3/n_3 =78/16=4.875

Entonces y ̅_st=∑_(i=1)^3▒〖N_i/N y ̅_i=〗 (42.5%)/(100%) (9.56)+(30%)/(100%) (9.16)+(27.5%)/100 (4.875)

y ̅_st=(0.425×9.56)+(0.30×9.16)+(0.275×4.875)=8.15

Si (N_i-n_i)/N_i =1 →(V ) ̂(y ̅_st )=∑_(i=1)^3▒〖〖(N_i/N)〗^2 〖S_i〗^2/n_i 〗=(〖0.425〗^2 60.76/25)+(〖0.30〗^2 63.01/19)+(〖0.275〗^2 78.24/16)

(V ) ̂(y ̅_st )=1.107

Luego el límite de error de estimación es: B=2√1.1.07=2.1

4. (Ejercicio 6, relación tema 3) Una compañía de autobuses está planeando una nueva ruta para dar servicio a cuatro barrios. Se tomaron muestras aleatorias de hogares en cada barrio y se solicitó a los miembros de la muestra que valorasen en una escala de 1 (totalmente opuesto) a 5 (totalmente a favor) su opinión sobre el servicio propuesto. Los resultados se resumen en la tabla adjunta:

Barrio

1 2 3 4

N_i 240 190 350 220

n_i 25 25 25 25

y_i 3,5 3,6 3,9 3,8

S_i 0,8 0,9 1,2 0,7

a) Halle un intervalo de confianza para la opinión media de los hogares que dispondrán del nuevo servicio.

b) Si se asigna la muestra de 100 hogares de la mejor forma, determine cuántos pertenecerían al barrio 3. (Suponga iguales los costes de observación)

Sea:

Y= opinión de los hogares que dispondrán del nuevo servicio de ruta

Se sabe que: que los datos de la tabla muestran la información

Se pregunta:

y ̅_st=? , B=? , ?≤Y ̅≤?

Si n=100 , n_3=?

Solución:

Tenemos que: N=∑_(i=1)^4▒〖N_i=240+190+350+220=1000〗

Se haya y ̅_st con la fórmula:

y ̅_st =1/N ∑_(i=1)^4▒〖N_i y ̅_i=1/1000((240×3.5)+(190×3.6)+(350×3.9)+(220×3.8))〗

y ̅_st=3.725

Para calcular V ̂(y ̅_st) se usa la fórmula:

V ̂(y ̅_st )=1/N^2 ∑_(i=1)^4▒〖N_i^2 (S_i^2)/n_i (N_i-n_i)/N_i 〗

Al reemplazar valores se tiene:

V ̂(y ̅_st )=1/〖1000〗^2 (〖240〗^2 〖0.8〗^2/25 (240-25)/240+〖190〗^2 〖0.9〗^2/25 (190-25)/190+〖350〗^2 〖1.2〗^2/25 (350-25)/350+〖220〗^2 〖0.7〗^2/25 (220-25)/220)

V ̂(y ̅_st )=0.00973

Entonces B=2√(V ̂(y ̅_st ) )=2√0.00973=0.1973

El intervalo de confianza para Y ̅ es:

(3.725-0.1973; 3.725+0.1973)= (3.5227; 3.9223)

n_3=nω_3=100 (N_3 σ_3)/(∑_(i=1)^4▒〖N_i σ_i 〗)=100 (350×1.2)/((240×0.8)+(190×0.9)+(350×1.2)+(220×0.7))

n_3=100 420/937=100×0.4482=44.82≈45

Pertenecerían al barrio tres 45 hogares.

5. (Ejercicio 20, relación tema 3) Una empresa especializada en seguros está pensando en ofrecer sus servicios a las empresas de los polígonos industriales de una ciudad. Para ajustar sus tarifas desea estimar el gasto en pequeñas reparaciones de mantenimiento (objeto del seguro) de dichas empresas. Se clasifican las empresas en función de su tamaño. El número de empresas de cada tipo, el coste de obtención de esta información en cada empresa así como los valores mínimos, medios y máximos de un estudio similar hecho hace dos años se expresan en la siguiente tabla (los costes y gastos están expresados en euros)

Gastos de reparación

Tipo de

Empresa Número de

empresas Costes de

observación Mínimo Media Máximo

A 100 16 400 500 600

B 500 9 240 300 360

C 700 4 70 100 130

Si la empresa de seguros

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