Ejercicios con derivadas aplicados a la economía
Enviado por elianpuraca17 • 6 de Julio de 2018 • Trabajos • 9.922 Palabras (40 Páginas) • 154 Visitas
EJERCICIOS PROPUESTOS
Ejercicio N° 1
Analice y grafique las funciones:
- [pic 4]
-para graficar esta función primero hallaremos los extremos relativos, igualando la primera derivada de la función a cero:
[pic 5]
La primera derivada de f(x):
[pic 6]
[pic 7]
Luego:[pic 8]
[pic 9]
[pic 10]
[pic 11]
No es posible encontrar un valor real para “x”, por lo cual, la función f(x) no tiene extremos relativos.
-Para hallar el punto de inflexión hallaremos la segunda derivada y la igualaremos a cero:
[pic 12]
[pic 13]
[pic 14]
[pic 15]
Y con esto concluimos que no se puede encontrar un valor en el plano RxR entonces no posee un punto de inflexión.
-podemos observar que el dominio de la función f(x) resulta que x pertenece al conjunto de los números reales.
Por tanto:
[pic 16]
[pic 17]
[pic 18]
Por lo tanto, tenemos:[pic 19]
- [pic 20]
-para graficar esta función primero hallaremos los extremos relativos, igualando la primera derivada de la función a cero:
[pic 21]
La primera derivada de f(x):
[pic 22]
[pic 23]
Luego:
[pic 24]
[pic 25]
[pic 26]
[pic 27]
[pic 28]
Ya tenemos los extremos relativos si embargo no sabes en qué punto la función convexa o cóncava, para ello, evaluaremos la segunda derivada:
[pic 29]
[pic 30]
Para hallar el punto de inflexión hallaremos la segunda derivada y la igualaremos a cero:
[pic 31]
[pic 32]
[pic 33]
Como podemos observar no se puede hallar el punto de inflexión, entonces evaluaremos la función para y.[pic 34][pic 35]
Evaluando:
[pic 36]
[pic 37]
Entonces tenemos que:
(0;0) es el punto del máximo relativo en la función f(x).
(2;4) es el punto del mínimo relativo en la función f(x).
-Se advierte que la función es discontinua en , por lo tanto, podemos evaluar f´(x) y f´´(x) para valores distinto de [pic 38][pic 39]
Por tanto:
, entonces podemos afirmar que la función es cóncava y tiene pendiente positiva.[pic 40]
Adicionando:
[pic 41]
[pic 42]
, entonces podemos afirmar que la función es convexa y tiene pendiente positiva.[pic 43]
[pic 44]
[pic 45]
El análisis anterior nos permite establecer el siguiente gráfico:
[pic 46]
- f(x) = x − Ln(x)
-para graficar esta función primero hallaremos los extremos relativos, igualando la primera derivada de la función a cero:
[pic 47]
La primera derivada de f(x):
[pic 48]
[pic 49]
Luego:[pic 50]
[pic 51]
[pic 52]
[pic 53]
[pic 54]
-Para hallar el punto de inflexión hallaremos la segunda derivada y la igualaremos a cero:
[pic 55]
[pic 56]
[pic 57]
[pic 58]
[pic 59]
Y con esto concluimos que no posee un punto de inflexión.
Evaluando en la segunda derivada:[pic 60]
[pic 61]
Entonces tenemos que:
(1;1) es el punto del mínimo relativo en la función f(x).
-Se advierte que x pertenece <0;+∞> entonces podemos evaluar la función en en f´(x) y f´´(x) para valores distinto de [pic 62][pic 63]
Por tanto:
, entonces podemos afirmar que la función es convexa y tiene pendiente positiva.[pic 64]
Adicionando:
[pic 65]
[pic 66]
Con este análisis podemos graficar la función f(x):
[pic 67]
Ejercicio N° 2
Se tiene una cuerda para delimitar un terreno. Si el terreno ha de tener un perímetro de 49 metros, ¿cuál debe ser el largo y el ancho para que el área sea el máximo posible?
X= ancho y Y= largo [pic 68][pic 69][pic 70]
[pic 71]
[pic 72]
[pic 73]
A max= YX
A max=[pic 75][pic 74]
A max= [pic 77][pic 76]
Inicialmente hallaremos la primera derivada para después conocer los extremos relativos con la condición de primer orden:[pic 78]
A´=0
[pic 79]
[pic 80]
[pic 81]
Finalmente, utilizaremos la condición de segundo orden:[pic 82]
A´´<0
la función A[pic 83]
Reemplazando:
A max: [pic 84]
A max= 150.0625
X= 12.25
Y=12.25
Entonces el largo y el ancho para que el área sea el máximo posible es de 12.25 para ambos casos
Ejercicio N° 3
Encontrar dos números reales tales que su suma sea 20 y su producto sea máximo.
Sean X e Y dos números que pertenecen al conjunto de números reales
(1)[pic 85]
Nos piden hallar f máx.
[pic 86]
Despejamos y de la ecuación número 1 y la reemplazamos en la ecuación número 2:
[pic 87]
[pic 88]
Para hallar los extremos relativos comenzaremos hallando la primera derivada para después igualarla a cero. [pic 89]
[pic 90]
[pic 91]
[pic 92]
[pic 93]
Finalmente, utilizaremos la condición de segundo orden:[pic 94]
f´´(x)<0
[pic 95]
La función es continua en 10 entonces x=10 es un máximo, por ende y=10
Entonces cuando los números x e y sean 10 y 10 su producto será máximo.
Ejercicio N° 4
El costo total de producir q unidades de producto se expresa por la función:
[pic 96]
¿Cuál debe ser el nivel de producción para que el costo medio sea mínimo?
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