EJERCICIOS Derivadas

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN UNIVERSITARIA

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA TERRITORIAL DEL ESTADO PORTUGUESA

DERIVADAS

P. N. F. MECÁNICA

ENERO, 2020

EJERCICIOS

1.- DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS

a) Hallar la derivada de y= Sen (2x-3)

Solución:
(Sen U)´=U´.Cos U, en donde U= 2x-3
Derivando →y´= (2x-3)´.Cos(2x-3)= 2.Cos(2x-3)

y´= 2.Cos (2x-3)

b) Hallar la derivada de y= Cos x3

Solución:
(Cos U)´= -U´.Sen U, en donde U= x3

Derivando →y´=(x3)´.Sen(x3)=  3X2.Sen x3

y´= 3X2.Sen x3

c) Hallar la derivada de y= tg √x

Solución:
(tg  U)´=        U  

             Cos2U

En donde U= √x

(√x)´=  x´  =   1  

      2√x    2√x

Derivando →y´=  (√x)´ =      1   =        1  

                 Cos2√x     2√x         2√x. Cos√x    
                           Cos2√x    

y´ =     1      

      2√x. Cos√x    

d) Hallar la derivada de y= arc Sen x3

Solución:
(arc Sen U)´=   U´

             √1-U2

 En donde U= x3

Derivando →y´=   (x3)´ =     3x2

                 √1-(x3)2    √1-x6

y´=  3x2  

   √1-x6

e) Hallar la derivada de y= arc Cos (3x2-6x +1)

Solución:
(arc Cos U)´= -    U´

               √1-U2

 En donde U= 3x2-6x +1

Derivando →y´= -  (3x2-6x +1)´ =  -    6x -6

                 √1-(3x2-6x +1)2             √1-(3x2-6x +1)2

y´=  -    6x -6        

      √1-(3x2-6x +1)2            

2.-DERIVADAS ÍMPLICITAS

a) Hallar y´ en Cos y= L(x+y)

Solución:

Se deriva en forma implícita (Cos y)´= (L(x+y))´

(Cos y)´ →(Cos u)´= -U´.Sen U en donde U= y; (Cos y)´= -y´.Sen y

(L(x+y))´ →(LU)´= U´

                   U

En donde U= x+y ; (L(x+y))´= (x+y)´ = 1+y´

                               x+y     x+y

La derivada de la función es:

(Cos y)´= (L(x+y))´ → y´.Sen y= 1+y´

                                 x+y  

-y´.(x+y).Sen y= 1+y´ →-y´.(x+y).Sen y – y´=1

Se saca y´ factor común y se despeja

-y´.((x+y).Sen y+ 1)=1

y´= -     1  

        (x+y).Sen y+1

b) Hallar y´ en la función 4x2+9y2=36

Solución:

Se deriva en forma implícita (4x2)´+(9y2)´=(36)´→ 8x+9.2.y.y´=0 → 8x+18yy´=0

Se despeja

y´→ y´= - 8x

          18y

y´= - 4x

     9y

c) Hallar y´ en la función x2y-xy2+x2+y2=0

Solución:

Se deriva en forma implícita

1. (x2y)´-(xy2)´+(x2)´+(y2)´=0

(x2y)´ →(U.V)´= U. V´+ V.U´;  (x2y)´= x2.(y)´+ y(x2)´= x2. Y ´+ y(2x)= x2.y´+2xy

(xy2)´ →(U.V)´= U. V´+ V.U´;  (xy2)´= x.(y2)´+y2(x)´= x(2yy´)+ y2(1)= 2xyy´+y2

(x2)´= 2x; (y2)´= 2yy´

Sustituyendo en 1) x2y´+2xy-2xyy´-y2+2x+2yy´=0

Se saca el factor común y´, para despejar luego

y´( x2-2xy+2y)= -2x+y2-2xy

y´= -2x+y2-2xy

   x2-2xy+2y

d) Hallar y´ en la función Sen x/y+ Cos y =0

Solución:

Se deriva en forma implícita

(Sen x/y)´+ (Cos y)´=0→(Sen x/y)´ →(Sen U)´=U´.Cos U

(Sen x/y)´= (x/y)´. Cos x/y= y.x´- x.y´. Cos x

                                 y2           y

(Cos y)´= -y´ Sen y

Se sustituye en   1)

 y-xy´ . Cos x/y - y´ Sen y = 0

 y2      

(y-xy´) Cos x/y-y2 .y´ Sen y =0 → y. Cos x/y – xy´. Cos x/y – y2 y´.Sen y = 0

Se saca factor común y´, para despejar luego

y´(-x Cos x/y – y2 Sen y)= -y Cos x/y → y´=     -y Cos x/y        

                                            -x. Cos x/y – y2 Sen y

y´=     y Cos x/y        

   x. Cos x/y + y2 Sen y

e) Hallar y´ en y2 Sen x +y = arc tg x 

Solución:

Se deriva en forma implícita

(y2 Sen x)´ + (y)´= (arc tg x)´ 

(y2 Sen x)´ →(U.V)´= U. V´+ V.U´  en donde  U= y2 y V= Sen x

(y2 Sen x)´= y2 . (sen x)´+Sen x (y2)´= y2. Cos x + Sen x.2y.y´

(arc tg x)´ →(arc tg U)´= u´/1+U2;  arc tg x = x´/ 1+x2=  1/1+ x2

La derivada de la función es: (y2.Sen x)´+(y)´= (arc tg x)´

y2.Cos x + sen x. 2y. y´+y´= 1/1+ x2

Se saca el factor común y´, para luego despejar

y´(2y.Sen x +1)= 1/1+x2 – y2 .Cos x

y´=  1   - y2.Cos x

   1+x2         

    2y. Sen x +1

3.- DERIVADAS LOGARÍTMICAS

a) Hallar la derivada de y= 4x +lg4 x

Solución:

y´= V´+ U´-W´

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