Ejercicios derivadas.
Enviado por Valeria Anríquez Cortés • 27 de Agosto de 2016 • Tareas • 866 Palabras (4 Páginas) • 195 Visitas
PROBLEMA 1 (50%)
Parte i.
Sea (x; y) = xy3x3+y3, si (x; y) 6= (0; 0) y definamos (0; 0) = 0. Demostrar que la derivada (0; a) existe para todo valor del vector a y calcular su valor en función de los componentes de a. Además determine si f es o no continúa en el origen.[pic 1][pic 2][pic 3]
Desarrollo:
Entonces tenemos:
[pic 4]
Evaluando en tenemos , Por lo que existe para todo [pic 5][pic 6][pic 7]
Veamos si es continua en [pic 8]
Notamos que , evaluando tenemos que[pic 9]
(No converge a 0).[pic 10]
Por lo tanto, no es continua en [pic 11]
Parte ii.
El cambio de variables x = u + v, y = transforma f(x; y) en g (u, v). Calcular y en función de las derivadas parciales de f. (Puede suponer que las derivadas parciales cruzadas de f son iguales). Además sabiendo que= 2,. Determinar las constantes a y b tales que:[pic 12][pic 13][pic 14][pic 15][pic 16]
[pic 17]
Desarrollo:
Derivamos,
[pic 18]
[pic 19]
[pic 20]
[pic 21]
[pic 22]
[pic 23]
[pic 24]
[pic 25]
[pic 26]
Tenemos que:
[pic 27]
[pic 28]
Entonces,
[pic 29]
[pic 30]
[pic 31]
[pic 32]
Tomando , b = y sabiendo que [pic 33][pic 34][pic 35]
Por lo tanto, se cumple lo solicitado
Parte iii.
Estudie la concavidad o convexidad de las siguientes funciones:
- = k() con k>0 , >0 para todo = 1,2,…,n y ( [pic 36][pic 37][pic 38][pic 39][pic 40][pic 41][pic 42]
Desarrollo:
, λ [pic 43][pic 44][pic 45]
= K () K + K[pic 46][pic 47][pic 48][pic 49]
=[pic 50]
[pic 51]
[pic 52]
- = con [pic 53][pic 54][pic 55][pic 56][pic 57]
Desarrollo:
Analizaremos su hessiano en:
[pic 58]
= 2[pic 59][pic 60][pic 61]
[pic 62]
- = min para todo = 1,2,…,n y ( [pic 63][pic 64][pic 65][pic 66][pic 67][pic 68]
Desarrollo:
= min [pic 69][pic 70]
f () = min ()[pic 71][pic 72]
Min ([pic 73][pic 74]
= λ [pic 75]
[pic 76]
PROBLEMA 2. (50 %)
Parte i.
Dada : ℝ una función que se define como = . Muestre que la función es diferenciable en todo punto.[pic 77][pic 78][pic 79][pic 80][pic 81]
Desarrollo:
Las derivadas parciales de cualquier de función polinomial, son también funciones polinomiales, y como estas funciones son continuas en cualquier punto de su dominio, se establece que las funciones polinomiales son diferenciables en cualquier punto de su dominio.[1]
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