El determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero.

Regla de Cramer

La regla de Cramer se aplica para resolver sistemas de ecuaciones lineales que cumplan las siguientes condiciones:

 1  El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas.

 2  El determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero.

Tales sistemas son sistemas compatibles determinados y se denominan sistemas de Cramer.

[pic 1]

Sea Δ el determinante de la matriz de coeficientes.

[pic 2]

Todo sistema de Cramer tiene una sola solución (es decir, es un sistema compatible determinado) que viene dada por las siguientes expresiones:

[pic 3]

Δ1, Δ2 , Δ3, ... , Δn son los determinantes que se obtiene al sustituir los coeficientes del 2º miembro (los términos independientes) en la 1ª columna, en la 2ª columna, en la 3ª columna y en la enésima columna respectivamente.

[pic 4]

[pic 5]

[pic 6]

...

[pic 7]

Ejemplos

1

[pic 8]

[pic 9]

[pic 10]

[pic 11]

2

[pic 12]

[pic 13]

[pic 14]

Como el sistema no es un sistema de Cramer, debemos transformarlo.

[pic 15]

Como [pic 16] , podemos limitarnos a estudiar el sistema:

[pic 17]

Estamos ante un sistema con el mismo número de ecuaciones que de incógnitas y con determinante de la matriz de coeficientes distinto de cero. Es decir, estamos ante un sistema de Cramer.

Las soluciones de este sistema de Cramer, que vendrán dadas en función de λ serán las mismas que las del sistema original.

[pic 18]

[pic 19]

MÉTODO POR SUMA Y RESTA

1.Se multiplican las ecuaciones por los números que hagan que ambas ecuaciones tengan el coeficiente de las variables iguales, excepto tal vez por el signo.

2.Se suman o se restan las ecuaciones para eliminar esa variable.

3. Se resuelve la ecuación resultante para la variable que quedo.

4.Se sustituye este valor en cualquiera de las ecuaciones originales para encontrar el valor de la otra variable.

5. Comprobamos la solución sustituyendo los valores en las ecuaciones originales.

Ejemplo:

3x - 6y = 5
(2) 4x + 3y = -1
3x - 6y =5
8x - 6y = -2
11x = 3
x = 3/11
3x = -6y = 5
3/1 (3/11) -6y = 5
9/11 - 6y/1 = 5/1
9 - 66y = 55
-66y = 55 - 9
-66y = 46
y = 46/-66
y = 23/33

MÉTODO POR SUSTITUCION

          3x – 4y = -6

          2x + 4y = 16

1.       Despejamos una de las incógnitas en una de las dos ecuaciones. Elegimos la incógnita que tenga el coeficiente más bajo.

2x = 16 – 4y                          x = 8 – 2y

2.       Despejamos una de las incógnitas en una de las dos ecuaciones. Elegimos la incógnita que tenga el coeficiente más bajo.

...