El principio del máximo de Pontryagin

El principio del máximo de Pontryagin

La clave para la teoría de control optimo es una condición necesaria de primer orden conocida como principio del máximo. El enunciado del principio del máximo implica un enfoque que es a fin a la función lagrangiana y a la variable multiplicadora de lagrange. Para los problemas de control optimo esta se conoce como la Hamiltoniana y la variable de coestado, conceptos que ahora vamos a desarrollar

El hamiltoniano

Hay 3 variables: El tiempo , la variable de estado y la variable de control [pic 1][pic 2][pic 3]

Ahora introducimos una nueva variable, conocida como la variable de coestado, y la denotamos como  Al igual que el multiplicador de lagrange, la variable de coestado mide el precio sombra del precio de estado.[pic 4]

La variable de coestado se introduce en el problema de control optimo via una función hamiltoniana (Abreviada como Hamiltoniano). El Hamiltoniano se define como:

[pic 5]

Donde  denota al Hamiltoniano y es una función de 4 variables[pic 6]

Principio Maximo

El principio del máximo-La herramienta principal para la solución de problemas de control optimo debe su nombre a que una condición necesaria de primer orden requiere que escojamos a u de modo que se maximice al hamiltoniano  para todos los instantes de tiempo.[pic 7]

Además de la variable de control u, como  implica la variable de estado y  a la variable de coestado , El enunciado del principio máximo también estipula como la forma en que  y  deben cambiar con respecto al tiempo, por medio de una ecuación de movimiento para la variable de estado “y” (Abreviada como ecuación de estado), asi como una ecuación de movimiento para la variable de coestado  (Abreviada como ecuación de coestado. La ecuación de estado siempre viene como parte del enunciado del mismo problema, como en la segunda ecuación (20.1). Pero en vista de que (20.39) implica  , el principio del máximo describe la ecuación de estado[pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12][pic 13][pic 14][pic 15]

 [pic 16][pic 17]

En constante,  no aparece en el enunciado del problema y su ecuación de movimiento entra en escena solo como una condición de optimización. La ecuación de coestado es[pic 18]

[pic 19]

Observe que ambas ecuaciones de movimiento se enuncian en términos de la derivadas parciales , sugiriendo alguna simetría, pero hay un signo negativo añadido a [pic 20][pic 21]

Las ecuaciones constituyen un sistema de dos ecuaciones diferenciales. Así, necesitamos dos condiciones de frontera para determinar las dos constantes arbitrarias que van a surgir en el proceso de solución. Si tanto el estado inicial  como el estado terminal  son fijos, entonces podemos usar estas especificaciones para determinar las constantes. Pero si, como en el problema, el estado terminal no esta fijo entonces debemos incluir algo llamado condición de transversabilidad como parte del principio del máximo, para cubrir la brecha dejada por la condición de frontera faltante.[pic 22][pic 23]

Resumiendo, podemos identificar los diferentes componentes del principio del máximo para el problema como sigue:

[pic 24]

[pic 25]

[pic 26]

[pic 27]

La condición  establece que para todo instante  el valor de  el control optimo, debe escogerse de modo que se maximice el valor del hamiltoniano para todos los valores admisibles de  En el caso en el cual el hamiltoniano es diferenciable respecto a u y ofrece una solución interior, la condición i puede reemplazarse con[pic 28][pic 29][pic 30][pic 31]

[pic 32]

Sin embargo, la región de control es un conjunto cerrado, entonces son posibles la solución de frontera y   no puede aplicar. De hecho, el principio del máximo ni siquiera requiere que el hamiltoniano sea diferenciable respecto a [pic 33][pic 34]

Las condiciones  y  del principio máximo   y  , nos dan dos ecuaciones de movimiento, denominadas como sistemas de hamiltoniano para el problema dado. La condición , , es la condición de transversalidad apropiada solo para el problema de estado terminal libre.[pic 35][pic 36][pic 37][pic 38][pic 39][pic 40]

Condiciones terminales alternativas

¿Qué ocurre con el principio del máximo cuando la condición terminal es diferente? Ahí enfrentamos una línea terminal vertical, con un tiempo terminal fijo, pero un estado terminal no restringido. El principio del máximo para el problema de maximización requiere que:

[pic 41]

[pic 42]

[pic 43]

Con la condición de transversalidad

[pic 44]

Con las condiciones terminales alternativas, las condiciones  y  van a permanecer iguales, pero la condición  (la condición de transversabilidad) debe modificarse oportunamente[pic 45][pic 46][pic 47]

Punto terminal fijo

Si el punto terminal es fijo de modo que la condición terminal es  T con   y  T  dados, entonces la condición terminal misma debe dar la información para determinar una constante.[pic 48][pic 49][pic 50][pic 51]

En este caso, no se necesita ninguna condición de transversalidad

Linea terminal Horizontal

Suponga que el estado terminal es fijo para un nivel objetivo dado T, pero el tiempo terminal  es libre, de modo que tenemos la flexibilidad de alcanzar el objetivo apresuradamente o aun paso lento. Entonces tenemos la línea terminal horizontal como se ilustra, lo que nos permite escoger entre 1, 2, 3, u otros tiempos terminales para alcanzar el nivel objetivo de “y”. Para este caso, la condición de transversalidad es una resticcion del hamiltoniano (en vez de la variable de coestado) para .[pic 52][pic 53][pic 54][pic 55][pic 56][pic 57]

t=T [pic 58][pic 59]

Linea Terminal vertical truncada

Si tenemos un tiempo terminal fijo T, y el estado terminal es libre pero esta sujeto a la disposición de que T min  denota un nivel permisible de y minimo dado, enfrentamos una línea terminal vertical truncada.[pic 60][pic 61]

La condición de transversalidad para este caso puede enunciarse como la condición de holgura complementaria encontrada en las condiciones de Kuhn-Tucker:

       r  min             (T – min) λ(T) = 0[pic 62][pic 63][pic 64][pic 65][pic 66][pic 67]

El enfoque practico para resolver este tipo de problema es probar primero  como la condición de transversalidad y probar si la T* resultante satisface la restricción T*  min [pic 68][pic 69][pic 70][pic 71][pic 72]

Si es así, el problema está resuelto. Si no, entonces se debe tratar el problema como un problema de punto dado con min como el estado terminal[pic 73]

Linea terminal horizontal truncada

Cuando el estado terminal esta fijo en yT y el tiempo terminal es libre pero está sujeto a la restricción T*≤ Tmáx, donde Tmáx denota el tiempo permisible más reciente (una fecha limite) para alcanzar el yt dado, enfrentamos una línea terminal horizontal truncada. La condición de transversalidad se transforma en

t máx máx    máx) t máx [pic 74][pic 75][pic 76][pic 77][pic 78][pic 79][pic 80][pic 81]

Nuevamente esto aparece en el formato de la condición de holgura complementaria.

El enfoque para resolver este tipo de problema es probar primerot máx  . Si el valor de solución resultante es T* ≤ Tmáx, el problema está resuelto. Si no, debemos entonces tomar a Tmáx como un tiempo terminal fijo, el cual, junto con el yT dado, define punto final fijo, y resuelve el problema como un problema de punto final fijo.[pic 82][pic 83][pic 84][pic 85]

Aplicaciones económicas

Maximización de utilidad a los largo de todo el tiempo de vida

...