Maximos Y Minmos

MÁXIMOS Y MÍNIMOS

Naturaleza Creciente o decreciente de una función

Se dice que una función f es creciente en el intervalo l, si para dos números cualesquiera x1, x2 e l, donde x1 < x2, se cumple que f(x1) < f(x2). Una función f es decreciente en el intervalo l, si para dos números cualesquiera x1, x2 en l, donde x1 > x2, entonces f(x1) > f(x2).

MAXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS

Una función f tiene un máximo relativo en x = x0, si existe un intervalo abierto que contenga a x0 sobre el cual f(x0) ≥ f(x) para toda x en el intervalo. El máximo relativo es f(x0). Una función tiene un mínimos relativo en x= x0, si existe un intervalo abierto que contenga a x0 sobre el cual f(x0) ≤ f(x), para toda x en el intervalo. El mínimo relativo es f(x).

MAXIMOS Y MINIMOS ABSOLUTOS

Una función f tiene un máximo absoluto en x= x0, si f(x) ≥ f (x) para toda x en el dominio de f. El máximo absoluto es f(x0). Una función f tiene un mínimo absoluto en x= x0, si f(x0) ≤ f (x), para toda x en el dominio de f. El mínimo absoluto es f(x).

GUIA PARA LA RESOLUCION DE PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE MAXIMOS Y MINIMOS

PASO 1. Cuando sea apropiado, dibuje un diagrama que muestre la información dada en el problema

PASO 2. Formule una función para la cantidad que se quiera maximizar o minimizar.

PASO 3. Exprese la función del paso 2 como función de una sola variable y señale el dominio de esta función. El dominio puede determinarse por la naturaleza del problema.

PASO 4. Encuentre los valores críticos de la función. Después de probar cada valor critico, determine cual proporciona el valor extremo absoluto que se busca. Si el dominio de la función incluye puntos extremos, examine también los valores de la función en esos puntos.

Paso 5. Con base en los resultados del paso 4, responda las preguntas que se formularon en el enunciado del problema.

EJEMPLO 1: Maximización del ingreso

La ecuación de demanda para el producto de un fabricante es

p=(80-q)/4 , 0 ≤ q ≤ 80,

Donde q es el numero de unidades y p el precio por unidad. ¿Para que valor de q se tendrá un ingreso máximo? ¿Cuál es el ingreso máximo?

Solución: sea r el ingreso total, el cual es la cantidad por maximizar. Como

Ingreso = (precio) (cantidad)

Tenemos

r=pq=(80-q)/4 .q= (80q- q^2)/4

Donde 0 ≤ q ≤ 80. Haciendo dr⁄dq, obtenemos

dr/dq=(80-2q)/4=0

80-2q=0

q=40

Así, 40 es el único valor crítico. Ahora veamos si este valor de un máximo. Examinando la primera derivada para 0 ≤ q ≤ 40, tenemos dr⁄dq > 0, por lo que r es creciente. Si q > 40, entonces dr⁄dq < 0, por lo que r es decreciente. A consecuencia de que a la izquierda de 40 tenemos que r es creciente y a las derecha de r es decreciente, concluimos que q = 4da el ingreso máximo absoluto, esto es, [80(40) – (40)2]/4 = 400.

EJEMPLO 2: Minimización del costo promedio

La función del costo total de un fabricante esta dada por

c=q^2/4+3q+400

Donde c es el costo total de producir q unidades. ¿Para qué nivel de producción será el costo promedio por unidad un mínimo? ¿Cuál es este mínimo?

Solución: la cantidad por minimizar es el costo promedio c ̅. La función de costo promedio es:

c ̅=c/q=(q^2/4+3q+400)/q=q/4+3+400/q

Aquí q debe ser positiva, para minimizar c ̅, diferenciamos:

(dc ̅)/dq=1/4-400/q^2 =(q^2-1600)/〖4q〗^2

Para obtener los valores críticos, resolvemos (dc ̅)⁄dq=0:

q^2-1600=0

(q-40)(q+40)=0

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