Elementos fundamentales de la Geometría

2.1 Elementos fundamentales de la Geometría

OBJETIVOS

 Conocer los elementos fundamentales de la Geometría y su representación.

 Aprender las definiciones fundamentales obtenidas a partir de los elementos

fundamentales.

 Encontrar la medida de ángulos en figuras geométricas utilizando los postulados y

teoremas de ésta sección.

Términos básicos no definidos

La Geometría tiene tres entes o elementos fundamentales no definidos: punto, recta y plano.

Punto

El punto es el primer elemento que no está definido en Geometría. Se representa gráficamente por un

pequeño círculo y una letra mayúscula que lo identifica. La siguiente figura muestra tres puntos A, B y

C.

A

C

B

Recta

El segundo término no definido de la Geometría Euclideana es el de recta, aunque se entiende que una

recta es un conjunto infinito de puntos que se extienden indefinidamente en sentidos opuestos. Para

referirse a una recta, se seleccionan dos puntos sobre ella; la recta queda determinada por dichos puntos.

Una recta también se puede identificar por una letra minúscula. La figura siguiente muestra la recta

AB

que pasa por los puntos A y B. La recta de la figura también está identificada como la recta l.

A B l

Plano

El tercer término no definido de la Geometría Euclideana es el de plano. Se entiende que un plano es una

superficie totalmente plana que se extiende indefinidamente. Una mesa de vidrio o la cubierta de un

escritorio da la idea de un plano. Un plano se representa geométricamente por una figura de cuatro lados

y una letra mayúscula. La siguiente figura representa al plano P.

P

Definiciones fundamentales

A partir de los elementos fundamentales se pueden definir todos los otros elementos de la Geometría, en

ésta sección se definen algunos de ellos.UNIDAD 2 Geometría 2.1 Elementos fundamentales de la Geometría 2

Espacio

Está formado por todos los puntos posibles y contiene infinitos planos.

Puntos colineales

Son todos los puntos que están situados sobre una misma recta.

Puntos coplanares

Son todos los puntos que están situados en un mismo plano.

Segmento de recta

El segmento de recta AB está formado por todos los puntos entre A y B incluyendo los puntos A y B. La

longitud de un segmento es la distancia entre sus puntos extremos. Para indicar que la longitud del

segmento AB es 5 escribimos

AB  5

. La siguiente figura muestra el segmento de recta AB.

A B

Rayo o semirecta

El Rayo AB está formado por todos los puntos que se extienden en una sola dirección a partir del punto A

pasando por el punto B. El punto A se llama origen o punto extremo del rayo. La siguiente figura muestra

el Rayo AB.

A B

Rayo AB

Punto medio de un segmento

Es el punto que divide un segmento en dos segmentos iguales. Si C es el punto medio de AB, entonces

AC CB 

A C B

Ángulos y su medida

Un ángulo está formado por dos rayos que tienen el mismo punto extremo. Al punto extremo común se le

llama vértice y a los dos rayos se las llama lados del ángulo. El ángulo de la figura siguiente está formado

por los rayos AB y AC, su vértice está en el punto A y sus lados son los rayos AB y AC.

A B

C

1

Para referirse al ángulo de la figura anterior se puede hacer como

1 ,  CAB ,  BAC

y si el vértice no

es compartido con otro ángulo puede identificarse como

 A .

En Geometría usualmente la medida de un ángulo se expresa en grados sexagesimales. Un círculo

tiene 360 grados, así un grado (1º) es el ángulo formado por

1

360

parte de un círculo. Un grado se divide

en 60 minutos y un minuto se divide en 60 segundos.UNIDAD 2 Geometría 2.1 Elementos fundamentales de la Geometría 3

1º 60

1 60





 



Ángulo agudo

Es un ángulo cuya medida es mayor que cero y menor de 90º. Por ejemplo el ángulo A de la figura siguiente

tiene una medida de 50º, es decir

  A 50º

A

50º Ángulo recto

Es un ángulo cuya medida es 90º y usualmente se representa con una pequeña escuadra en el vértice del

ángulo.

A

90º Ángulo obtuso

Es un ángulo cuya medida es mayor de 90º pero menor que 180º, en la figura siguiente se muestra un

ángulo obtuso de 150º

A

150º Ángulo llano

Es un ángulo cuyos lados son rayos opuestos. La medida de un ángulo llano es 180º

A

180º

Postulados y Teoremas

El estudio formal de la Geometría requiere el uso de postulados, teoremas y demostraciones. Los

postulados son enunciados que se aceptan como verdaderos y ellos no pueden demostrarse mientras que

los teoremas son proposiciones derivadas de los postulados y pueden ser demostradas, aunque en muchos

casos las demostraciones son muy complicadas. En este curso se presentan únicamente los postulados y

teoremas que se consideran necesarios para la solución de problemas geométricos.UNIDAD 2 Geometría 2.1 Elementos fundamentales de la Geometría 4

2

4 3

1

S i e t e p o s t u l a d o s i m p o r t a n t e s

1. Una recta contiene cuando menos dos puntos; un plano contiene cuando menos

tres puntos, no todos en la misma recta; el espacio contiene cuando menos cuatro

puntos, no todos en el mismo plano.

2. Existe una recta y sólo una que pasa por dos puntos.

3. Existe un plano y sólo uno que pasa por tres puntos no están en una sola recta.

4. Si dos puntos están en un plano, entonces la recta que los contiene se encuentra

también en el mismo plano.

5. Si dos planos diferentes se intersecan, su intersección es una recta.

6. Entre dos puntos existe una distancia, y sólo una.

7. A cada ángulo le corresponde un número real único mayor o igual a 0º y menor o

igual a 180º.

Relaciones entre puntos rectas y ángulos

Cuando se combinan puntos rectas, segmentos y ángulos, se obtienen figuras geométricas; las cuales dan

origen a definiciones y teoremas que relacionan los elementos geométricos. A continuación se presentan

algunas definiciones y teoremas importantes.

Puntos sobre una recta

Si tres

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