ELEMENTOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA

ELEMENTOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA

Distancia entre puntos del plano

1. Calcule la distancia entre los puntos :

        a) P1(−4, 2)  y  P2(4, 8).                        b) P1(0, 3)  y  P2(−4, 1).

c) P1(−7, 4)  y  P2(1, −11).                        d) P1(1/3, −1/2)  y  P2(−1/6, 0).

1. Determine las coordenadas del punto medio del segmento que une los puntos :

a) P1(1, 2)  y  P2(5, −4).

b) P1(7/8, −1/2)  y  P2( −3/4, 5/6).

c) P1(1/3, −1/2)  y  P2(−1/6, 0).

1. Encuentre las coordenadas del punto P(x, y) que divide al segmento P1P2 en la razón

r = [pic 1] dada en cada caso.        

        a) P1(1, 3),   P2(7, 9),   r = 1/2.

b) P1(5, −4),   P2( −1/3, 2),   r = 3/2.                

c) P1(5, −5); P2(2, −3); r = −4/3.

1. Halle la pendiente m  y la inclinación  α de la recta que pasa por los puntos dados:

a) P1(6, 1)  y  P2(1, −4).

b) P1( −3, 2)  y  P2(4, −1).

c) P1(10, −3)  y  P2 (14, −7).

1. Encuentre las coordenadas del punto que equidista de los puntos   A(3, 3),    B(6, 2)  y  C(8, −2).
2. Determine el punto de abscisa 3 que diste 10 unidades del punto (−3, 6).
3. Dos puntos distan 5 unidades del eje de coordenadas Y.   Sus distancias  al   punto   (−3, −2) son iguales a 10 unidades. ¿Cuáles son las coordenadas de esos puntos?
4. Dos vértices de un triángulo equilátero son los puntos A(−4, −3)  y  B(4, 3).  Encuentre las coordenadas del vértice C que se ubica en el II Cuadrante del sistema cartesiano.
5. Demuestre que el triángulo de vértices  A(4, −1),   B(−2, 3)  y  C(−6, −3) es rectángulo.

a) Usando el concepto de pendiente.

b) Aplicando el teorema de Pitágoras.

1. Demuestre que los puntos  A(3,5),  B(1, −1)   y   C(−4, −16) son colineales.

        a) Usando distancia entre dos puntos.

        b) Aplicando el concepto de pendiente.

1. Calcule el área del triángulo cuyos vértices son :

a) A(2, 3),   B(8, 7)  y   C(8, 3).

b) A(5, 4),   B(−3, 6)  y   C(−3, 4).

1. Demuestre que los puntos (2, 2), (0, −2) y (4, 0) son los vértices de un triángulo isósceles.
2. Los puntos  (1, 0),  (6, 1)  y  (4, 3) son tres vértices consecutivos de un paralelógramo.  Determine las coordenadas del cuarto vértice.
3. Encuentre e identifique el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los puntos A(1, -2)  y  B(5, 4).

Rectas en el plano

1. Determine las ecuaciones de las rectas que pasen por los puntos P(x,y) y que tengan las pendientes m  dadas:

a) Pasa por  P(−1, −2),  m = 3/4.

b) Pasa por P(0, −3),   m = −2.

c) Pasa por P(−5, 2),   m = 1.

d) Pasa por P(0, 3),   m =  −4/3.

1. Obtenga la ecuación de las rectas que pasan por los puntos dados :

a) A(−7, −2)  y  B(−2, −5).                        b) A(−4,1)   y   B(3, −5).

c) A(2, −3)    y  B(4, 2).                        d) A(0, 0)   y   B(5, −3).

1. Encuentre las intersecciones con ejes coordenados de las siguientes rectas y utilice dichos puntos para trazar su gráfica :

a)  3x – 2y - 4 = 0.

b)  2x + 3y – 10 =0.

1. Determine la pendiente m , y la inclinación α de las siguientes rectas :

a)  2x + 3y – 12 = 0.

b)  5x + 12 y = 0.

c)  4x – y + 1 = 0.

1. Encuentre la ecuación de la recta que pasa por C(3, 1) y es paralela a la recta que pasa por los puntos B(3, −2)  y  D(−6, 5).
2. Determine la ecuación de la recta que pasa por P(−1, −2) y es perpendicular a la recta que pasa por Q(−2, 3)  y  R(−5, −6).
3. Encuentre el valor del parámetro k de forma que la recta dada satisfaga lo pedido:

a)  3kx + 5y + k – 2 = 0   pase por el punto (−1, 4).

b)  (k – 1)x + (k + 1)y – 7 = 0   sea paralela a la recta  3x + 5y – 7 = 0.

c)  4x – ky – 7 = 0   tenga pendiente m = 3.

d)  (k – 1)x + (k + 1)y – 7 = 0    sea perpendicular a la recta  3x + 5y – 7 = 0.

1. Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas de ecuaciones: L’: 3x – y + 1 = 0   y   L”:  4x + 2y – 7 = 0, y sea perpendicular a la recta L’.   Grafique las tres rectas.
2. Los tres vértices consecutivos de un paralelógramo son A(−3, 1),   B(0, −2)  y  C(4, 4). Determine las ecuaciones de sus diagonales.
3. Dado el triángulo de vértices A(−2, −4),  B(10, 2)  y  C(4, 4),  encuentre la longitud de la altura correspondiente al vértice C, y el área de dicho triángulo.
4. Dos lados de un paralelógramo están dados por las ecuaciones:   x + 2y + 4 = 0    y    5x + 3 y – 1 = 0.   Si el punto de intersección de sus diagonales es  E(3, 0), encuentre las ecuaciones de los otros lados.
5. Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas :

        L’ : x – 3y + 1 = 0    y    L” : 2x + 5y – 9 = 0,   y cuya distancia al origen es 5.

1. Determine la ecuación de la recta que pasa por la intersección de las rectas:

L’ : 3x + 4y – 1 = 0   y   L” : 2x + y – 4 = 0,  y sea perpendicular a la recta cuya ecuación es  x – y – 1 = 0.

1. Dos rectas se cortan formando un ángulo de 135°.  Si la recta final tiene una pendiente igual a -3, ¿cuál es la pendiente de la recta inicial?

La circunferencia

1. Determine la ecuación de la circunferencia,

        a) de centro el punto (3,-1) y radio 5.

b) de centro el punto (0,5) y radio 5.        

c) de centro el punto (0, 0) y radio 4.

d) de centro el punto (2, 0) y radio 2.

1. Encuentre el centro y radio de las circunferencias :

a)  [pic 2].                        b)  [pic 3].

c)  [pic 4].                d)  [pic 5].

e)  [pic 6]

1. Determine la ecuación de la circunferencia cuyo diámetro es el segmento que une los puntos : A (−3, 5)  y  B (7, −3).
2. Encuentre la ecuación de la circunferencia de centro A(−4, 3)  y  que  sea tangente al eje Y.
3. ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia de centro B(3, −4) y que pase por el origen?
4. Halle la ecuación de la circunferencia  de radio r = 8, que sea  tangente a los ejes coordenados y cuyo centro esté en el primer cuadrante.
5. Calcule el área y el perímetro de la circunferencia cuya ecuación es :

[pic 7].

1. Una circunferencia de radio 5 pasa por los puntos A(0, 2)  y  B(7, 3).  Encuentre sus dos ecuaciones.
2. Determine la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (−1, 0)  y  (0, 1), y es tangente a la recta  x – y = 1.
3. Encuentre la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y que pasa por el punto  A(6, 0).
4. El centro de una circunferencia que pasa por (1, −2)  y  (−2, 2) está situado sobre la recta de ecuación  8x – 4y + 9 = 0. ¿Cuál es su ecuación?
5. Demuestre que las circunferencias cuyas ecuaciones son [pic 8]  y [pic 9]  son concéntricas.
6. Determine la ecuación, el centro y el radio de la circunferencia que pasa por A(4, −1),  B(0, −7)  y  C(-2,-3).

La Parábola

1. Determine las coordenadas  del foco, longitud del lado recto y la ecuación de la directriz de las siguientes parábolas :

                a) [pic 10].                b) [pic 11].                c) [pic 12].

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