Ensayo Circunferencia

INTRODUCCIÓN

La circunferencia es uno de los elementos de la geometría más importantes que están a normalmente en la vida, aunque no lo parezca. Está en todas partes.

En la prehistoria (millones de años atrás), con la invención de la rueda se dio inicio a toda la tecnología de hoy en día, todo gracias a la rueda aunque sea indirectamente, y nuevamente tenemos aplicaciones de la circunferencia en esta.

Para partir con este amplio e importante tema, primero aclararemos que es la circunferencia:

La circunferencia es la línea "imaginaria" que rodea un circulo, todos los puntos de la línea están a la misma distancia del centro.

Es la línea roja en el dibujo (la parte color plomo se llama circulo). Para lograr una perfecta precisión, se han fijado puntos claves en la circunferencia, como lo es el punto O (o centro) y con eso, el llamado diámetro y el radio.

El diámetro es un segmento que une 2 puntos de la circunferencia, pasando por el centro. Y el radio es un segmento que une un solo punto de la circunferencia con el punto O, por lo tanto un diámetro es igual a dos radios.

Hay que aclarar que se pueden hacer infinitos

DEFINICIÓN

Veamos las siguientes definiciones:

Wooton, W. Beckenbach E. & Fleming, L. (1985) “define a la circunferencia como el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que se conserva siempre a una distancia constante de un punto fijo de ese plano”

Lehman C. (1980) “la definen como el lugar geométrico (conjunto) de todos los puntos del plano que están a una distancia dada (radio) de un punto dado (centro). Al segmento cuyos extremos son el centro der círculo y aun punto de la circunferencia se llama segmento radial”

Así citando estas definiciones podemos crear una en base a estas y es la siguiente:

La circunferencia es el lugar geométrico, de todos los puntos del plano donde la distancia con respecto a un solo punto llamado centro es siempre constante.

DESARROLLO:

ECUACIÓN CANONICA

El tipo más simple de ecuación ordinaria de una curva se denomina frecuentemente, forma canónica, donde la ecuación ordinaria de una curva es la forma que nos permite obtener más rápida y fácilmente sus características importantes.

A continuación vamos a mostrar cómo se obtiene la ecuación canónica de la circunferencia, esta ecuación se obtiene en base a la definición de este lugar geométrico ya dado. Mediante algunos pasos sencillos de algebra elemental y conociendo la definición de distancia entre dos puntos del plano podemos llegar al objetivo de sección.

Sea P(x,y) cualquier punto de la circunferencia, o un punto genérico de ese lugar geométrico, y

Denotaremos a la distancia de P a C como d(P,C)

Luego, pongamos d(P,C)=constante , o bien si r=constante tenemos d(P,C)=r

√((x-a)^2+(y-b)^2 )=r (Definición de distancia)

Así como ambos lados de la ecuación son positivos, podemos obtener el cuadrado de la ecuación anterior y asi obtener lo siguiente:

C:〖(x-a)〗^2+ 〖(y-b)〗^2=r^2

A esta ecuación se le llama, ecuación canoníca de la circunferencia.

Luego si el centro de la circunferencia es el origen, o sea a=0,b=0 , la ecuación canoníca se reduce al siguiente término:

x^2+y^2=r^2

EJEMPLO 1.1

Halla la ecuación canónica de la circunferencia con centro C(2,-1) y radio r=4.

Solución: Note que un punto U(x,y) del plano se encuentra en la circunferencia dada, si y sólo si :

|(|u-s|)|=4 (1)

Así usando la definición de distancia entre dos puntos del plano obtenemos la siguiente ecuación:

|(|u-s|)|=|(|(x,y)-(2,-1)|)| (2)

=||(x-2,y+1|| (3)

=√(〖(x-2)〗^2+〖(y+1)〗^2 ) (4)

Así de la ecuación 1, tenemos que:

√(〖(x-2)〗^2+〖(y+1)〗^2 )=4 (5)

Note que ambos miembros de la ecuación son únicos así al tomar el cuadrado de ambos se obtiene:

〖(x-2)〗^2+〖(y+1)〗^2=16 (6)

Así la ecuación (6) representa la ecuación canónica de la circunferencia de centro C(2,-1) y radio r=4.

ECUACIÓN GENERAL

Desarrollaremos la ecuación canoníca de la circunferencia.

C: 〖(x-a)〗^2+ 〖(y-b)〗^2=r^2 (1)

Luego, desarrollaremos los cuadrados, de la ecuación (1) para obtener la siguiente ecuación:

x^2-2ax+a^2+y^2-2by+ b^2=r^2 (2)

Así, usaremos la asociatividad de los reales para tener,

x^2+y^2-2ax-2by+(a^2+b^2-r^2 )=0 (3)

Luego definamos de la ecuación (3) a

D=-2a

E=-2b

F=a^2+ b^2-r^2

Así obtenemos la siguiente ecuación, sustituyendo.

C: x^2+ y^2+ Dx+Ey+F=0

Esta ecuación representa la forma general en la que podemos expresar a una circunferencia. Donde se le denomina comúnmente ecuación general, o ecuación cartesiana de la circunferencia.

TRANSFORMACIÓN DE LA ECUACIÓN GENERAL A LA FORMA CANONICA DE LA CIRCUFERENCIA

Recordemos la forma de la ecuación general o cartesiana de la circunferencia.

C:x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 (1)

Luego, usaremos

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