Erin Brockovich

1.1.1 DEFINICIONES(ECUACION DIFERENCIAL, ORDEN, GRADO, LINEALIDAD)

Ecuación diferencial: Una ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes.

Las ecuaciones diferenciales se clasifican de acuerdo con su tipo, orden y linealidad.

Clasificación según el tipo: si una ecuación solo contiene derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente, entonces se dice que es una ecuación diferencial ordinaria. Ejemplo.

4/dx+10y=e^x Y -(d^2 y)/〖dx〗^2 -dy/dx+6y=0

Son ecuaciones diferenciales ordinarias. Una ecuación que contiene las derivadas parciales de una o más variables dependientes, respecto de dos o más variables independientes, se llama

ecuación en derivadas parciales. Ejemplo.

du/dy=-du/dx

Clasificación según el orden: El orden de una ecuación diferencial (ordinaria o en derivadas parciales) es el de la derivada de mayor orden en la ecuación. Por ejemplo,

(d^2 y)/〖dx〗^2 +5(dy¦dx)-4y=e^x

es una ecuación diferencial de segundo orden. Como la ecuación (y-x)dx+4xdy=0 se puede escribir en la forma

4x dy/dx+y=x

Si se divide entre la diferencial dx, es un ejemplo de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden.

Una ecuación diferencial ordinaria general de orden n se suele representar mediante los símbolos

F(x,y,y^,…..y^((n) ))=0

En las explicaciones y demostraciones de este libro supondremos que se puede despejar la derivada de orden máximo, y^((n)), de una ecuación diferencial de orden n, como la ecuación (2); esto es

y^((n))=f(x,y,y^,,…..y^((n-1) ) ).

Clasificación según la linealidad o no linealidad: Se dice que una ecuación diferencial de la forma y^((n))=f(x,y,y^,,….,y^((n-1) ) es lineal cuando f es una función lineal de y, y^,,…y^((n-1)). Esto significa que una ecuación es lineal si se puede escribir en la forma

a_n (x) (d^n y)/〖dx〗^n +a_(n-1) (x) (d^(n-1) y)/〖dx〗^(n-1) +⋯+a_1 (a) dy/dx+a_0 (x)y=g(x)

En esta última ecuación, vemos las dos propiedades características de las ecuaciones diferenciales

Lineales:

i) La variable dependiente y y todas sus derivadas son de primer grado; esto es, la potencia

de todo término donde aparece y es 1.

ii) Cada coeficiente sólo depende de x, que es la variable independiente.

Las funciones de y como sean y o las funciones de las derivadas dey, como e y no pueden aparecer en una ecuación lineal. Cuando una ecuación diferencial no es lineal, se dice que es no lineal.

1.1.2 SOLUCIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

La resolución de las Ecuaciones Diferenciales persigue encontrar expresiones equivalentes que, prescindiendo de derivadas o diferenciales, satisfagan las condiciones de esas ecuaciones.

En otros términos la determinación de las funciones primitivas constituye la parte fundamental de la solución de las ecuaciones diferenciales.

En ocasiones la solución de las ecuaciones diferenciales puede basarse en procesos simple de integración o alternativamente se puede recurrir a procesos de derivación.

En otras circunstancias se pueden usar artificios matemáticos que dependerán de la forma general de las ecuaciones y en otras ocasiones se utilizan propiedades especiales de las ecuaciones diferenciales.

Cuando no es factible determinar las funciones primitivas correspondientes a una ecuación diferencial puede resultar conveniente la utilización de métodos numéricos que nos permitan entender su comportamiento

ECUACIONES DIFERENCIALES SEPARABLES

Una ecuación en la que aparecen x,y, y´y´´,... y y(n) , donde y es una función de x y y (n) es la n-esima derivada de y con respecto a x, es una ecuación diferencial ordinaria de orden n. Los siguientes ejemplos son ecuaciones ordinarias del orden especificado:

ORDEN 1: Y´=2x

ORDEN 2: D²y / dx² + x²( dy / dx )³ - 15y= 0

ORDEN 3: ( y¨¨)4 – x²(y¨ )5 + 4xy = x ex

ORDEN 4: (d 4y /dx4 ) - 1 = x³ dy/ dx

Recordemos que una función f (o f(x) es una solución de una ecuación diferencial si al sustituir y por f (x) se obtiene una identidad para todo x en un intervalo.

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN

Las ecuaciones diferenciales del siguiente tipo aparecen muchas veces en el estudio de los fenómenos físicos.

DEFINICION

Una ecuación diferencial lineal de primer orden es una ecuación de la forma: Y´ + P(x)y = Q(x) Donde P y Q son funciones continuas. .

Q(x) = 0 para todo x, se obtiene y´ + P(x) = 0 que es separable. Concretamente se puede escribir: 1 dy = - P(x) o bien 1 dy = - P(x) dx y dx y

siempre que y =/= 0. Integrando se obtiene In |y| = - ¦P(x)dx + In |C|.

La constante de integración se ha expresado como In |C| para cambiar la forma de la última ecuación, como sigue:

Ln|y| - ln|C| = - ò P(x) dx ln|y/C| = - ò P(x) dx y/c = e ò p(x)dx = C

ahora se observa que

d [y e ò p(x)dx ] = Q(x) y e ò p(x)dx = e ò p(x) dx [y¨+ p(x)y]

Por lo tanto si se multiplican por e f p(x)dx, ambos lados de y´+ P(x)y =Q(x), la ecuación resultante puede escribirse como

Dx [ye f P(x)dx ] = Q (x) e f P(x)dx

Integrando ambos lados de la ecuación se obtiene la siguiente solución implícita de la ecuación diferencial lineal de primer orden en la definición anterior.

y e f P(x)dx ] = Q (x) e f P(x)dx dx + K

donde K es una constante.

...