Espacios vectoriales en matemáticas,

Espacios vectoriales

En matemáticas, un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto, definida entre dicho conjunto y un cuerpo matemático), cumpliendo una serie de propiedades o requisitos iniciales.

sistema de coordenadas en el espacio

un sistema de coordenadas en el espacio significa un sistema en 3 dimensiones es decir que si existe un eje x y un eje y, en el espacio existiria un tercer eje los cuales corresponderían a ancho alto y profundidad

espacios vectoriales en r3

los espacion vectoriales en r3 son todos aquellos vectores que estan en un espacio tridimensional, por tanto tienes 3 componentes en cada vector, el componente en X, Y y Z

ejemplos:

V={(3,1,4) , (-2,-3,8) , (8,0,1)} por tanto V pertenece a r3 ya que tienes 3 componentes en cada vector

Propiedades en r3

La suma de vectores tiene las siguientes propiedades (en lo que sigue, "u", "v" y "w" son vectores y "t" y "s" son números:

• propiedad asociativa, (u + v) + w = u + (v + w)

• elemento neutro, (0,0,0),

• para cada vector u(x,y,z) existencia de su elemento opuesto -u(-x,-y,-z)

• propiedad conmutativa, u + v = v + u

Productor escalar

el producto escalar, también conocido como producto interno, interior o punto es una operación definida sobre dos vectores de un espacio euclídeo cuyo resultado es un número o escalar

En el espacio vectorial R3 , el producto interno, o producto escalar, entre dos vectores u = ( x 1, y 1, z1 ) y v = ( x 2, y 2, z2 ) se define como

< u , v > = x 1x 2 + y 1 y 2 + z1 z2

Propiedades del producto escalar

1. Conmutativa:

2. Distributiva respecto a la suma vectorial:

3. Asociativa respecto al producto por un escalar m:

• Propiedad de ortogonalidad (perpendicularidad)

Dados dos vectores no nulos a y b si a.b=0 entonces a y b son perpendiculares

Positividad del producto escalar

Desigualdad de Cauchy

La desigualdad de Cauchy-Schwarz establece que para todo par de vectores x e y de un espacio vectorial real o complejo dotado de un producto escalar (es decir, un espacio prehilbertiano),

Equivalentemente, tomando la raíz cuadrada en ambos lados, y refiriéndose a la norma de los vectores, la desigualdad se escribe como

Adicionalmente, los dos lados son iguales si y sólo si x e y son linealmente dependientes (geométricamente, si son paralelos o uno de los vectores es igual a cero).

La desigualdad de Cauchy-Schwarz se usa para probar que el producto escalar es una función continua con respecto a la topología inducida por el mismo producto escalar.

Vector unitario

• un vector es unitario si su norma es uno, se puede encontrar un vector unitario en dirección de otro no nulo si se divide entre su norma , es decir que es Vector cuya magnitud es igual a 1.

http://es.wikipedia.org/wiki/Producto_escalar#Propiedades_del_producto_escalar

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