Espiral de Arquímedes, espiral logarítmica y Volutas

Espiral de Arquímedes, espiral logarítmica y Volutas.

La Espiral de Arquimedes, obtuvo su nombre del matemático siciliano Arquímedes, quien vivió en el siglo III antes de Cristo. Se define como el lugar geometrico un punto que se desplaza de manera uniforme a lo largo de una recta, a la vez que esta gira alrededor de uno de sus extremos con velocidad angular constante.

Son multiples las aplicaciones que ha tenido la espiral de Arquimedes dentro del mundo tecnico, por ejemplo los muelles de espiral que servían para dar cuerda a muchos reloges, los surcos que se grababan en los discos de vinilo, etc.

Otro tipo de curva que suele confundirse mucho con la espiral es la Voluta, aunque en realidad se tratan de conceptos diferentes. La voluta es una curva compuesta por arcos de circunferencia, tangentes entre sí, siendo los centros de los arcos los vertices de un segmento o poligono dado. Por tanto partiendo se un segmento se obtendrá la voluta de dos centros, partiendo de un triangulo la voluta de tres centros, de un cuadrilatero voluta de cuatro centros y así sucesivamente.

La Espiral de Arquimedes es tambien conocida como espiral aritmética pero existen además otras espirales cuyas construcciones no veremos todas por ser más matemáticas que geométricas.

- La espiral logarítmica, se distingue de la espiral de Arquímedes por el hecho de que las distancias entre sus brazos se incrementan en progresión geométrica, mientras que en una espiral de Arquímedes estas distancias son constantes.

- La espiral hiperbolica, que es la inversa de la espiral de Arquimedes.

- La espiral parabolica o de Fermat, en honor a su descubridor.

Trazado de la espiral de Arquimedes conociendo el paso.

1.- Dividimos el segmento cuya longitud es igual al paso de la espiral deseada en un nº cualquiera de partes iguales, por ejemplo doce, ver división de un segmento en un número de partes iguales , y se trazan desde uno de los extremos las circunferencias concentricas que pasan por todas las divisiones. Cuantas más divisiones mas puntos se obtendran para poder trazar la espiral.

2.- Se dividen las circunferencias en el mismo nº de partes iguales y se trazan los radios respectivos. Ver división de una circunferencia en un numero de partes iguales.

3.- Las intersecciones de cada radio con sus arcos corresspondientes nos determinan los puntos de la espiral.

Trazado de la espiral logarítmica.

En esta curva se comprueba que el movimiento de traslación no es uniforme, sino que sigue una progresión geométrica, de tal modo que el paso es variable.

Para su construcción se trazan dos ejes perpendiculares entre sí, obteniéndose el punto O donde se cortan.

1.- Se traza un triángulo rectángulo ABO, cuyos catetos formen con la hipotenusa los ángulos que se quieren dejar constantes durante el recorrido del punto generador. Partimos del triángulo escogido ABO.

2.- Por el punto B se traza una perpendicular a la hipotenusa AB, lo que determina sobre el otro eje el punto C por el que, a su vez, se traza otra perpendicular al segmento BC, obteniéndose el punto D sobre el otro eje, y así sucesivamente.

3.- Se trazan las mediatrices de los segmentos que contienen los puntos A, B, C, D, etc., y donde éstas corten a las bisectrices de los ángulos rectos que forman la línea poligonal definida por ellos, se obtienen los centros O1, O2, O3, etc., de los diferentes arcos de circunferencia que configuran la espiral. Descritos éstos con sus radios particulares O1A, O2B, O3C, etc., y unidos convenientemente, dan como consecuencia la construcción de la espiral como puede apreciarse en la Figura.

La espiral de Durero.

En 1525, tres años antes de morir, el genial pintor renacentista y gran enamorado de las Matemáticas, Alberto Durero (1471-1528) publica una obra titulada "Instrucción sobre la medida con regla y compás de figuras planas y sólidas". Es un precioso libro en el que pretende enseñar a los artistas, pintores y matemáticos de la época diversos métodos para trazar diversas figuras geométricas.

En esta obra Durero muestra cómo trazar con regla y compás algunos espirales y entre ellas una que pasará a la historia con su nombre: la Espiral de Durero.

Hay que esperar más de 18 siglos para que, esta vez un artista con grandes dotes matemáticas, nos proporcione los métodos para dibujar otro tipo más complejo de espirales, las espirales basadas en el crecimiento gnómico, es decir, las que se obtienen la encajar de forma recurrente, figuras geométricas semejantes y unir sus vértices. Especial atención le van a merecer las espirales relacionadas con la sucesión de Fibonacci y con el número áureo.

A pesar de su gran amor por las matemáticas, como muestra en su cuadro Melancolía, plagado de metáforas matemáticas, Durero es fundamentalmente un pintor. Por eso su obra "Instrucción sobre la medida con regla y compás de figuras planas y sólidas", no realiza un estudio teórico de las espirales y se limita a dar preceptos para su construcción.

La influencia del mudo helénico, de la que Durero está impregando, le impone una nueva restricción: la utilización exclusiva de la regla y el compás. Por ello, se va a limitar a investigar la representación aproximada de la espiral no uniforme mediante arcos de circunferencias.

No se trata de una espiral de Arquímedes ni de una espiral logarítmica pues ninguna de las dos puede construirse con regla y compás, sin embargo se aproxima bastante a esta última.

Los rectángulos áureos son aquellos cuyos lados están en proporción áurea, es decir, el cociente entre su lado mayor y su lado menor es precisamente el número de oro.

Son los únicos que tienen esta curiosa propiedad: si cortamos un cuadrado cuyo lado sea el lado corto del rectángulo obtenemos un rectángulo semejante al original, es decir tiene las mismas proporciones.

O expresado al revés, si a un rectángulo áureo le añadimos sobre su lado mayor, un cuadrado obtenemos otro rectángulo áureo. Una buena aproximación a esta sucesión de rectángulos áureos es la obtenida a través de los rectángulos cuyos lados son los términos de la sucesión de Fibonacci.

Una vez construida esta sucesión de rectángulos áureos encajados si unimos mediante un arco de circunferencia dos vértices opuestos de cada uno de los cuadrados obtenidos, utilizando como centro de la misma otro de los vértices del mismo cuadrado, obtenemos una curva muy similar a una espiral logarítmica, es la famosa Espiral de Durero.

Esta espiral es casi una espiral logarítmica de salto angular 90 grados y razón geométrica el número de oro. La única diferencia, inapreciable a pequeña escala es que los centros de esos arcos van saltando a su vez de un vértice a otro de los rectángulos.

Nos consuela pensar que si bien esta increible espiral no se ajusta de manera tan perfecta a los fenómenos naturales de desarrollo de numerosos seres vivos, tanto animales como vegetales, como sus numerosos defensores a lo largo de la historia han pretendido, al menos ha proporcionado auténticas maravillas artísticas desde Durero hasta nuestros días.

Otra espíral gnómica basada en el número áureo es la que se construye tomando como base un triángulo isósceles cuyo ángulo menor mide 36°. A partir de cada triángulo se construye otro triángulo isósceles cuyo lado menor coincide con el mayor del triángulo anterior.

Los cocientes entre el lado mayor y el lado menor de cada triángulo tienden hacia el número de oro.

La espiral se construye uniendo mediante arcos de circunferencia los vértices consecutivos de estos triángulos.

El resultado es otra similar cuya pulsación, el factor de crecimiento es el número áureo.

Volutas

Trazado de la voluta de dos centros.

1.- Partimos del llamado paso, que sera igual a la longitud del segmento AB. Desde el punto medio O del segmento AB trazamos un arco de semicircunferencia de diametro AB.

2.- Haciendo centro en A y con radio AB se traza otro arco de semicircunferencia obteniendose el punto C.

3.- Haciendo centro en O y con radio OC se traza otro arco de semicircunferencia obteniendose el punto D.

4.- Haciendo centro en A y con radio AD se traza otro arco de semicircunferencia obteniendose el punto E.

5.- Haciendo centro en O y con radio OEse traza otro arco de semicircunferencia obteniendose el punto F.

Repitiendo el proceso se van consiguiendo los sucesivos brazos de la voluta. Observese la constancia del paso en cada una de las vueltas.

Trazado de la voluta de tres centros.

Para su trazado de parte de un triangulo equilatero ABC cuyo lado medira 1/3 del paso deseado.

1.- Haciendo centro en uno de sus vertices se traza un arco con radio igual al lado hasta que corte con las prolongaciones de los lados del triangulo obteniendose el punto D.

2.- Haciendo centro en el vertice siguiente del tiangulo C se traza otro arco que se inicia el el punto D obtenido anteriormente y termina donde corte con la prolongacion del otro lado.

3.- Haciendo centro en el vertice siguiente del tiangulo A se traza otro arco que se inicia en el punto E obtenido anteriormente y termina donde corte con la prolongacion del otro lado.

4.- Repitiendo el proceso y haciendo siempre centro en los vertices del triangula se obtienen los demas brazos de la voluta.

Trazado de la voluta de cuatro y más centros.

El proceso de construcción es identico que el de la voluta de tres centros, pero en este caso se parte de un cuadrado cuyo lado medirá 1/4 del paso deseado.

Si se quieren obtener volutas de más centros se partira de un poligono regular con el mismo numero de lados que centros y de lado igual a paso de la voluta entre en numero de centros.

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