Estadística. Variable Aleatoria

1) Variable Aleatoria: una variable aleatoria es una función cuyos valores son números reales determinados por los elementos del espacio muestral, es decir, una variable aleatoria es una variable matemática cuyos valores posibles son las descripciones numéricas de todos los resultados posibles de un experimento estadístico.

A los valores posibles de la variable aleatoria se les asigna una probabilidad que es la frecuencia del resultado al que corresponden.

Se pueden distinguir distintos tipos de variables aleatorias según dos criterios de clasificación:

1. Variables cuantitativas que son las que resultan de experimentos cuyos resultados son directamente numéricos.

2. Variables cualitativas que son las que proceden de experimentos cuyos resultados expresan una cualidad no numérica que necesita ser cuantificada.

Otra clasificación más operativa de las variables aleatorias sería:

A. Variable discreta: Aquella que se define sobre un espacio muestral numerable, finito o infinito. Espacio numerable es aquel cuyos elementos se pueden ordenar, asignándoles a cada uno un número de la serie de los números naturales (del 1 al n ó del 1 al I). Todas las variables con un número finito de valores y todas las que tomen valores en números enteros o racionales (fraccionarios), son variables discretas.

B. Variable continua: Es aquella que se define sobre un espacio asimilable al conjunto de los números reales, es decir, un espacio no numerable (o un espacio infinito de tipo C o infinito dos)

En general, la regla de oro es que todas las variables que proceden de experimentos en los que se cuenta son discretas y todas las variables que proceden de experimentos en los que se mide son continuas.

Modelos Discretos:

3- La distribución uniforme discreta es una distribución de probabilidad que asume un número finito de valores con la misma probabilidad. Describe el comportamiento de una variable discreta que puede tomar n valores distintos con la misma probabilidad cada uno de ellos.

Si la distribución asume los valores reales , su función de probabilidad es

y su función de distribución la función escalonada

Su media estadística es

y su varianza

3- La distribución de Bernoulli es una distribución de probabilidad discreta, que toma valor 1 para la probabilidad de éxito ( ) y valor 0 para la probabilidad de fracaso ( ).

Si es una variable aleatoria que mide "número de éxitos", y se realiza un único experimento con dos posibles resultados (éxito o fracaso), se dice que la variable aleatoria se distribuye como una Bernoulli de parámetro .

La fórmula será:

Su función de distribución viene definida por:

Un experimento al cual se aplica la distribución de Bernoulli se conoce como Ensayo de Bernoulli o simplemente ensayo, y la serie de esos experimentos como ensayos repetidos.

4- La distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que mide el número de éxitos en una secuencia de nensayos de Bernoulli independientes entre sí, con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos. La distribución de probabilidad de este tipo de distribución sigue el siguiente modelo:

5- Distribucion multinomial: es una generalización de la distribución binomial. En este caso, en un experimento interesa estudiar no la ocurrencia de un único suceso o la de su contrario, sino la de varios sucesos (tres o más). La distribución multinomial, M(n,p1,…,pn) proporciona probabilidades de obtener, en m repeticiones independientes de un experimento, x1 veces el suceso A1, x2 veces el suceso A2,…, xn veces el suceso An, donde dichos sucesos forman una partición del espacio muestral.La distribución multinomial sigue el siguiente modelo:

6-Distribucion binomial negativa: Puede definirse como una generalización del modelo Geométrico o de Pascal. Así, dado un suceso A y su complementario Ac, cuando X representa el número de veces que se da Ac (ausencias, fallos, etc.) hasta que se produce r veces el suceso A, en una serie de repeticiones de la experiencia aleatoria en condiciones independientes, decimos que X sigue la distribución Binomial negativa. Nótese que, cuando r = 1, tenemos exactamente el modelo geométrico.

Este modelo queda definido por dos parámetros p (la probabilidad de A: p = P(A)) y r (el número de veces que debe producirse A para que detengamos la experiencia).

La función viene dada por:

donde q representa el complementario de p: q = 1 − p.

7-Distribucion Geometrica: Definamos una experiencia aleatoria cuyo resultado sólo puede ser el suceso A o su complementario Ac, y que se repite secuencialmente hasta que aparece el suceso A por primera vez.

Definamos la variable aleatoria X como el número de veces que repetimos la experiencia en condiciones independientes hasta que se dé A por primera vez. Bajo estas condiciones, decimos que la variable X sigue una distribución geométrica o de Pascal de parámetro p = P(A).

La función de densidad puede deducirse fácilmente de la definición:

f(k) = P[X = k] = (1 − p)k p k = 0, 1, 2, ..

8- Distribución Hipergeometrica: es una distribución discreta relacionada con muestreos aleatorios y sin reemplazo. Supóngase que se tiene una población de N elementos de los cuales, d pertenecen a la categoría A y N-d a la B. La distribución hipergeométrica mide la probabilidad de obtener x ( ) elementos de la categoría A en una muestra de n elementos de la población original.La distribución hipergeométrica sigue el siguiente modelo:

Donde:

10- Distribucion de Poisson: es una distribución de probabilidad

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