Estimacion de una proporcion

ESTIMACION DE UNA PROPORCION

Un estimador puntual de la proporción p en un experimento binomial donde X representa el número de éxitos en n pruebas, está dado por el estadístico P ̂= X/n

La proporción de la muestra p ̂= x/n se usará como estimador puntual del parámetro p.

Si p no está cerca de 0 ó 1, puede hallarse un intervalo de confianza para p al considerar la distribución muestral de P ̂.

En una prueba binomial, si valoramos con 0 al fracaso y con 1 al éxito, el número de éxitos x será la suma de los n valores de los resultados consistentes de ceros y unos.

Si p ̂ es la media muestral de estos n valores, para n grande, por el Teorema de límite central P ̂ está distribuido normalmente

con media μ_P ̂ =E(P ̂ )=E(X/n)=np/n=p

y varianza 〖σ^2〗_P ̂ =〖σ^2〗_(X/n)=〖σ_X〗^2/n^2 =npq/n^2 =pq/n

y P( -zα/2 < Z < zα/2) = 1-α donde Z= (P ̂-p)/√(pq/n)

y zα/2 es el valor en el eje x de la curva normal estándar donde el area bajo la curva para Z > zα/2 es α/2.

Sustituyendo Z en la ecuación de probabilidad tenemos:

P( -zα/2 < (P ̂-p)/√(pq/n) < zα/2) = 1-α

Despejando para p: P(P ̂ -zα/2 √(pq/n) < p < P ̂ + zα/2 √(pq/n)) = 1-α

Es el intervalo de confianza para p con un nivel de confianza

(1-α)100%

Cuando n es pequeño y p se considera cerca de 0 ó 1, este procedimiento no es confiable, para usarlo se requiere que np ̂ >5 y nq ̂ > 5

Ejemplo:

En una muestra aleatoria de n = 500 familias que tienen TV, 340 están suscritas a AMNET, hallar un intervalo de confianza del 95% para la proporción real de familias en ese sector que están suscritas a AMNET.

Solución:

La estimación puntual de p es p ̂ = 340 / 500 = 0.68

De la tabla de la distribución normal estándar zα/2 = z0.025 = 1.96

El intervalo de confianza para p será:

0.68 – 1.96 √((0.68*0.32)/500) < p < 0.68 + 1.96 √((0.68*0.32)/500)

Simplificando tenemos: 0.64 < p < 0.72

Si p es el valor central de un intervalo de un nivel de confianza de (1-α) 100% entonces p ̂ estima a p sin error. Sin embargo, la mayoría de veces no es así y habrá un error absoluto de |p – (p|) ̂ que será:

|p-p ̂|≤z_(α⁄2) √((p ̂q ̂)/n)

En el ejemplo, existe un 95% de nivel de confianza que la proporción de la muestra p ̂ = 0.68 difiere de la proporción real de p por un valor que no excede a 0.04.

Teorema: Si p ̂ es una estimación de p, existe un (1-α)100% de nivel de confianza que el error será menor que e cuando el tamaño de la muestra es aproximadamente: n=(z_(α/2)^2 p ̂q ̂)/e^2

En el ejemplo descrito, si queremos un nivel de confianza del 95% que nuestra estimación esté dentro de un margen de error de 0.02. Con p ̂= 0.68, zα/2 = 1.96 e=0.02 tenemos:

n= (〖1.96〗^2 (0.68)(0.32) )/〖0.02〗^2 =2090

Muchas veces se desconocen los valores probables de p ̂ y deseamos saber el tamaño apropiado de la muestra, consideramos

p ̂q ̂=p ̂(1-p ̂ )=(p ̂^2-p ̂ )=1/4-(p ̂^2-p ̂+1/4)=1/4-(p ̂-1/2)^2≤1/4

El valor máximo de p ̂q ̂ es ¼ y se obtiene cuando p ̂ = ½.

Teorema: Si p ̂ es una estimación de p, podemos tener un nivel de confianza de al menos (1-α)100% que el error no excederá a e cuando el tamaño de la muestra es n=(z_(α/2)^2)/〖4e〗^2

Ejemplo: Cual es el tamaño adecuado de una muestra n si queremos una confianza del 95% que nuestra estimación de p esté dentro de 0.02?

n=(z_(α/2)^2)/〖4e〗^2 = 〖1.96〗^2/(4*〖(0.02)〗^2 )=2401

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