Geometría

k

1. a) Trobeu el valor que ha de tenir

⃗ a +⃗

y=⃗ b

siguin perpendiculars si

perquè els vectors

a

⃗

= (-1,2) i

⃗

b

⃗ =k ⃗ − ⃗

x

a b

i

= (0,-3).

b) Què han de valer a i b perquè les rectes r: ax - 2y + 1 = 0 i s: x –

3y + b = 0 siguin perpendiculars si a més sabem que la recta r passa

pel punt P(2,-1)?

c) Trobeu l’equació de la recta que passa pel punt d’intersecció de les

rectes r:x+y-5=0 i s:2x-y-1=0 i és paral·lela a t: 2x + y – 1 = 0.

2. Un adob per a jardins ha de tenir com a mínim 15 unitats d ́un

component químic líquid i 15 unitats d ́un altre component sòlid. Al

mercat es troben dos classes d ́adobs: el del tipus A, que conté una

unitat de component líquid i 5 de sòlid, i el del tipus B, amb 5 unitats de

líquid i una de sòlid. El preu del tipus A és de 6 € i el del tipus B de 18 €.

Quines quantitats s ́han de comprar de cada tipus per a cobrir les

necessitats amb un cost mínim?

3. Determineu el sistema de quatre inequacions amb dues incògnites

que té per solució el polígon que té per vèrtexs (0,1), (0,2), (2,4) i (5,1),

suposant que els costats també són solució.

4.Un artesà fabrica dos tipus de peces, A i B. Les peces A requereixen 6

hores de muntatge i 10 de pintura, mentre que les peces B requereixen 9

hores de muntatge i 5 de pintura. Està disposat a treballar un màxim de

93 hores mensuals en la secció de muntatge i de 85 hores en la secció de

pintura. Un comerciant li comprarà totes les peces a un preu de 30 € les

de tipus A, i de 24 € les de tipus B. Ara bé, aquest comerciant exigeix

que si li subministri una quantitat mínima de 5 peces mensuals (A o B) i

vol també que el nombre de peces A no superi el triple del nombre de

peces de B. Calculeu el nombre de peces de cada tipus que ha de

fabricar mensualment l ́artesà per tal d ́obtenir un guany màxim. (3)

5. Un camioner que disposa de 20 000 € pot carregar el seu camió amb 25

tones de maçanes i taronges. El cost de les maçanes és de 1000 €/tona i ell

els vendrà després a 1300 €/tona. El cost de les taronges és de 600 €/tona i

el preu de venda serà de 800 €/tona.

a) El camioner, que vol treure’n el màxim benefici, es troba davant d’un

problema de programació lineal. Amb quantes variables? Determineu-les.

Determina també la funció objectiu o funció benefici. Quines restriccions

han de complir aquestes variables?

b) Quin carregament li reportarà més benefici? Quin serà aquest benefici?

6. Disposem de 210 000 € per a invertir en borsa. Ens recomanen dos tipus

d’accions. Les del tipus A, que rendeixen el 10 % i les del tipus B, que

rendeixen el 8 %. Decidim invertir un màxim de 130 000 € en les del tipus A

i com a mínim 60 000 € en les del tipus B. A més, volem que la inversió en

les del tipus A sigui menor que el doble de la inversió en B.

Quina ha de ser la distribució de la inversió per a obtenir el màxim interès

anual?

7. Escriu un sistema d’inequacions, les solucions del qual siguin el recinte

limitat pel polígon de vèrtexs A(3,4), B(8,9) , C(5,9) i D(0,5).

8. ABC és un triangle rectangle en. Si A(-1,2), B(3,4) i C(a, 6). Es demana:

a) Calcula a.

b) Àrea del triangle

k

c) Trobeu el valor que ha de tenir

i

⃗ a +⃗

y=⃗ b

siguin perpendiculars si

perquè els vectors

a

⃗

= (1,-22) i

⃗

...