Guia 0 de matematicas

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                 UNIDAD EDUCATIVA PRIVADA                                            UNIDAD EDUCATIVA TÉCNICA

ESCUELA DIOCESANA “SAN JUAN BAUTISTA                            INSTITUTO DIOCESANO “PABLO VI”                                                          

                 MARACAY – ARAGUA                                                                MARACAY - ARAGUA    

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        VMOL

GUIA CERO

NUMEROS NATURALES:

Todos aquellos usados, básicamente,  para contar:  Ν = [pic 3][pic 4]

NUMEROS ENTEROS:

Todos los números naturales unidos con sus opuestos:         Ζ = [pic 5][pic 6]

NUMEROS RACIONALES:

Todos los de la forma fraccionaria [pic 7], donde  “a”y “b” son números enteros:  Q=[pic 8]. [pic 9]

Característica: Su parte decimal es exacta o también  periódica (periódico puro o periódico mixto)

NUMEROS IRRACIONALES:

Todos aquellos cuya parte decimal es infinita y no periódica. Símbolo: I[pic 10]

Ejem: [pic 11]

Característica: Nunca pueden ser escritos como fracciones.

NUMEROS REALES:

Comprende la unión de los números racionales y los irracionales: [pic 12][pic 13][pic 14][pic 15]

Operaciones con Números Reales:

Ejemplo: Calcula el resultado de:[pic 16]

Resolución:

[pic 17]

[pic 18]

[pic 19]

[pic 20]

[pic 21]

[pic 22]

[pic 23]                ⇒        El resultado es:  [pic 24]

Algunas preguntas hechas por alumnos, sobre “pasos” del ejercicio anterior:

1) ¿Por qué en la expresión [pic 25] se calculó primero el resultado dentro del paréntesis y luego se elevó al cuadrado?

2)  ¿Será igual  [pic 26]?

3)  ¿Se puede aplicar la propiedad distributiva en [pic 27]?

4)  ¿Por qué    “−4 + 9”  resulta igual a +5,  no es posible que resulte igual a  −5  al multiplicar los signos?

5)  ¿Por qué  en la expresión  [pic 28]   el  “+5”  elevado a la “0”  resultó  “1”?

6)  ¿Por qué [pic 29] resulta igual a  1   mientras que  [pic 30]   resulta   [pic 31]?

7)  Si aplicamos Potencia de Potencia en [pic 32] ¿El resultado cambiaría?

Respuestas:

1) Aparte de resolverlo como se plantea en el ejercicio, también se puede realizar usando el producto notable [pic 33],  ésto es:  [pic 34]. Sin embargo no suele aplicarse ya que este segundo proceso es más largo y generalmente se aplica en casos en que los términos no pueden ser sumados. Ejem: [pic 35].

2) Con respecto a la igualdad  [pic 36],  ésta es FALSA!.                                       

        3) NO!. Es imposible aplicar la propiedad distributiva pues las operaciones matemáticas tienen un orden de aplicación:

Primero Potenciación; Segundo Multiplicación o División; Tercero Sumas o Restas.

Es importante destacar que este orden de aplicación de las operaciones puede ser alterado por los “signos de agrupación”: paréntesis, corchetes, etc.

        4) Si el alumno tiene esta duda entonces está mezclando dos operaciones distintas: adición y producto.

Fíjese: la expresión dada no presenta productos por ningún lado:    “−4 + 9”.  No hay indicador alguno que nos oriente hacia el producto de los signos.

Recuerde que para sumar dos números enteros basta con seguir las siguientes indicaciones:

a) Si tienen el mismo signo pues se coloca el mismo y se suman los números.

b) Si tienen distinto signo pues se coloca el signo del número “más abundante” y se restan los números.

Ahora si su expresión no es   “−4 + 9”  sino “(−4) (+ 9)” entonces SI tendría que multiplicar los signos y también multiplicar los números correspondientes. O sea:  (−4) (+ 9) = (−) (+ ).4.9 = −36

5) En la potenciación de los números reales existe una propiedad o ley que dice:

“Todo valor no nulo elevado a la cero es igual a uno”

Ejemplo: [pic 37]

6) Primero debe recordar que un exponente afecta solamente a la expresión que se encuentra en la parte inferior izquierda de él.  

Así , por ejemplo, si se tiene [pic 38]  se puede observar que el exponente  2  está afectando todo lo encerrado dentro del paréntesis, por esta razón hay que elevar al cuadrado tanto el signo como el número.  

Pero si se tiene  [pic 39]   o  bien [pic 40]  entonces el exponente solo afecta al número 1, por tanto el signo no se eleva, pero el si el número.

        Por otro lado es importante recordar que:

a)“si el exponente es par entonces, en cualquier caso, el resultado de lo que eleva será siempre positivo”

b)“si el exponente es impar y la base positiva entonces el resultado de lo que eleva será siempre positivo”

c)“si el exponente es impar y la base negativa entonces el resultado de lo que eleva será siempre negativo”

        7) La Potencia de Potencia es una propiedad de los números reales. Por tanto al aplicar la misma, de manera correcta, no altera los resultados. Veamos:

[pic 41]  =    [pic 42]

=[pic 43]    =    [pic 44]      =    [pic 45]    =    [pic 46]        ⇒El resultado es:  [pic 47]

Veamos otro ejemplo:

Calcula el valor de: [pic 48]

Resolución:

[pic 49]        [pic 50]

[pic 51]

[pic 52]

[pic 53]

[pic 54]

[pic 55]

[pic 56]

[pic 57]

[pic 58]           ⇒          El resultado es:  [pic 59]

Algunas preguntas hechas por alumnos, sobre “pasos” del ejercicio anterior:

1) ¿Por qué en la expresión [pic 60]  no se simplificó el “2”? ¿No sería más fácil?

R.- No se simplificó ya que la expresión no cumple con las condiciones necesarias para ser simplificada. Recuerde que simplificar es “dividir” tanto el numerador como el denominador por un mismo número pero el numerador esta compuesto por una suma. Si en vez de suma fuese un producto entonces si se podría simplificar, así: [pic 61]

Por otro lado en Matemática no se trata de realizar pasos en base a la “facilidad” del mismo, sino en base a las propiedades y leyes existentes que rigen a las operaciones en un conjunto numérico definido.

2) ¿Por qué en la expresión [pic 62] no se multiplicaron primero las fracciones?

R.- No se multiplicó puesto que por el “orden de las operaciones” se tiene que realizar la potencia antes de multiplicar.

3) ¿Qué justifica los pasos [pic 63]?

R.- La justificación es la eliminación de signos de agrupación mediante “la regla de los signos”:[pic 64]

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