Guia Matematicas UNAM 2014

Matemáticas

Operaciones con números reales, complejos y expresiones algebraicas

Números reales

Los números reales incluyen:

Números enteros o naturales, normalmente sin el cero, un ejemplo de número entero o natural es 1,2,3,4,5 y -1,-2,-3,-4.-5

Números racionales son aquellos que se expresan 1.5 por que 1.5=3/2 (se puede escribir en forma de fracción)

Números irracionales son números, como es el caso de pi, la raíz cuadrada de 2, el número e o también llamado de Euler o la razón de oro φ

Suma y resta

Suma, es la acción de juntar dos o más números o cosas para tener un nuevo total, sumando+sumando= suma, ejemplo 8+3=11, dentro de la suma, existen 5 leyes

Ley de uniformidad: la suma de varios números dados tiene un valor único o siempre es igual ó las sumas de números respectivamente iguales son iguales o suma de igualdades. Sumando miembro a miembro varias igualdades, resulta una igualdad, ejemplo: 3 sillas+ 4sillas= 7 sillas, si en cada aula hay un alumno por asiento y un asiento por alumno, es una suma igual de los números que representan los alumnos y las sillas, a=b, c=d, m=n sería a+c+m=b+d+n

Ley conmutativa: el orden de los sumando no altera la suma, ejemplos: 2+3+4= 7, 3+2+4= 7, 4+3+2=7

Ley asociativa: la suma de varios números no varía sustituyendo varios sumandos, ejemplos, 5+6+8=19, 11+8=19, 5+14=19

Ley disociativa: la suma de varios números no se altera descomponiendo uno o varios sumando en dos o más sumandos, ejemplos: 10+3, puesto que 10= 8+2, tendremos que 8+2+3

Ley de monotonía, la cual consta de dos partes:

Sumando miembro a miembro desigualdades del mismo sentido con igualdades resulta una desigualdad del mismo sentido, ejemplos: 8>3 5=0 resulta en 8+5>3+5, 13>8

Sumando miembro a miembro varias desigualdades del mismo sentido, resulta otra desigualdad del mismo sentido, ejemplos: 5>3 4>2 resulta en 5+4>3+2, 9>5.

Resta, es la acción de quitar un número de otro, a los números involucrados en la resta se les llama minuendo-sustraendo=diferencia, ejemplo 8-3=5, dentro de la resta hay dos leyes

Ley de uniformidad: tiene dos formas de plantearse, la diferencia de dos números tiene un valor único o siempre es igual o restando miembro a miembro dos igualdades, resulta otra igualdad, ejemplos: a=3 5=b, resulta en a-5=3-b

Ley de monotonía: esta ley consta de tres partes

Si de una desigualdad (minuendo) se resta una igualdad (substraendo), siempre que la resta se pueda efectuar, resulta una desigualdad del mismo sentido que la desigualdad minuendo, ejemplo: 8>5 2=2, resulta en 8-2>5-2, 6>3.

Di de una igualdad (minuendo) se resta una desigualdad (substraendo), siempre que la resta se pueda efectuar, resulta una desigualdad de sentido contrario que la desigualdad del substraendo, ejemplo: 9=9 5>3, resulta en 9-5<9-3, 4<6

Si de una desigualdad se resta otra desigualdad de sentido contrario, siempre que la resta sea posible, resulta una desigualdad del mismo sentido que la desigualdad minuendo, ejemplos: 7>4 2<3, resulta en 7-2>4-3, 5>1

Multiplicación y división

Multiplicación, consiste en sumar un número tantas veces como indica otro número, así que 4x3, es igual a sumar tres veces el valor de 4 por sí mismo, dentro de la multiplicación existen 6 leyes

Ley de uniformidad, puede enunciarse en tres modos, el producto de dos números, tiene un valor único, siempre o igual ó los productos de números respectivamente iguales son iguales o producto de dos igualdades, multiplicando miembro a miembro varias igualdades, resulta otra igualdad

Ley conmutativa: el orden de los factores no altera el producto

Ley asociativa: el producto de varios números no varía sustituyendo, dos o más factores por su producto.

Ley disociativa: el producto de varios números no varía descomponiendo uno o más factores en dos o más factores

Ley de monotonía: multiplicando miembro a miembro desigualdades del mismo sentido e igualdades, resulta una desigualdad del mismo sentido que las dadas

Ley distributiva es aquella en la que en la que se usa una suma o resta indicada por un número, se multiplica por este número y se suman o restan los productos parciales

División, consiste en repartir entre partes o grupos iguales, a los números involucrados en la división se les conoce como: dividiendo/divisor= cociente, ejemplo: 12/3= 4, dentro de las leyes de la división hay tres

Ley de uniformidad: el cociente de dos números tiene un valor único o siempre es igual

Ley de monotonía: esta ley consta de tres parte:

Si una desigualdad(dividiendo) se divide entre una igualdad (divisor), resulta una desigualdad del mismo sentido que la desigualdad dividiendo

Si una igualdad (dividiendo) se divide entre una desigualdad (divisor), resulta una desigualdad de sentido contrario que la desigualdad divisor

Si una desigualdad se divide entre otra desigualdad de sentido contrario, resulta una desigualdad del mismo sentido, que la desigualdad dividiendo

Raíces y potencias con exponente racional

Las raíces cuadradas se escriben comúnmente usando el signo radical, así, √4, pero hay otra manera de representar una raíz, se pueden usar exponentes racionales en lugar de una raíz por ejemplo √4= 4_2^1

Potencias con exponente racional, toda cantidad elevada a un exponente negativo es igual a una fracción de numerador 1 y denominador igual a la cantidad pero con exponente negativo, ejemplo x^(-n)= 1/x^n

Números complejos, estos números son una extensión de los números reales y se designa como , todo numero complejo puede representarse como la suma de un número real y un número imaginario, ejemplos 1+i, 12-3.5i, -0.85-2i

Suma y resta

Suma, para sumar dos números complejos, sumamos las dos partes por separado, (a,b)+(c,d)= (a+c,b+d)

Resta, para restar, se restan las dos partes por separado (a,b)-(c,d)= (a-c,b-d)

Multiplicación, para multiplicar, se hace lo siguiente (a,b)(c,d)= (a.c-b.d, a.d+b.c)

Expresiones algebraicas, se manejan relaciones numéricas en las que una o más cantidades son desconocidas, esas cantidades se llaman variables, incógnitas o indeterminadas y se representan por letras, una expresión algebraica es una combinación de letras y números ligadas por los signos de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación.

Suma y resta

Suma: la suma algebraica, es la operación binaria que tiene por objetivo reunir dos o más sumandos, en una sola expresión llamada suma o adicción, la suma algebraica cuenta con 5 propiedades:

Propiedad de cerradura: la suma de dos o más polinomios, dará como resultado otro polinomio.

Propiedad conmutativa: el orden de los sumandos no altera el resultado de la suma

Propiedad asociativa: la suma es una operación binaria, que se realiza tomando 2 sumandos, de una serie de ellos, obteniendo un resultado parcial, y este sumándolo con el siguiente sumando, y así sucesivamente, hasta agregar todos los sumandos al resultado final, ejemplo: (A+B)+C= A+(B+C)

Propiedad de neutro aditivo: existe un polinomio llamado neutro que al sumarse con cualquier otro polinomio no lo altera, este neutro es el cero, ejemplo: A+0=A

Propiedad del inverso aditivo para cada polinomio queda definido otro que se llama su inverso aditivo, al sumarse ambos dan como resultado el neutro aditivo de los polinomios, ejemplo: A+(-A)=0

Resta, es una operación inversa de la suma, las propiedades de la resta son 3:

Propiedad de cerradura: la resta de dos polinomios dara como resultado otro polinomio.

No hay propiedad conmutativa, el orden de minuendo y sustraendo si altera el resultado de la resta

No hay propiedad asociativa: la resta solo puede hacerse entre dos polinomios

Multiplicación y división

Multiplicación, se mantienen las mismas leyes que en la multiplicación en los números naturales o reales.

División, es la operación que tiene por objeto, dado el producto de dos factores dividiendo y uno de los factores divisor encontrar otro factor llamado cociente, las leyes de la división son 4:

Ley de los signos: (+)/(+)= +, (-)/(-)= +, (+)/(-)=-, (-)/(+)=-

Ley de los cocientes de los coeficientes, es el cociente de dividir el coeficiente del dividiendo entre el coeficiente del divisor, ejemplo: mx/nxy= (m/n)(x/xy)

Ley de exponentes: la división de dos o más potencias de la misma base es igual a la base elevada a la diferencia de las potencias, ejemplo: x^m/x^n =x^(m-n)

División de monomios, en fracción se trabaja como reducción de múltiplos iguales, se aplican los 3 siguientes pasos:

Se aplica ley de signos

Se divide el coeficiente del dividiendo entre el coeficiente del divisor

Se aplica ley de los exponentes tomando las letras que no se encuentren como elevadas a cero (n°=1), y se escriben en orden alfabético, ejemplos: 〖16x〗^2 y÷4x= (〖16x〗^2 y)/4x=〖4x〗^(2-1) y=4xy

Raíces y potencias con exponente racional, ejemplos

Raíces con exponente racional, para sacar factores de un radical se divide el exponente entre el índice y el cociente es el exponente de ese factor fuera de la raíz y el resto el exponente del factor pero dentro del radical, ejemplo: (a^2 b^3)/c^4 ∜((a^14 b^15)/c^9 )=(a^2 b^3 a^3 b^3)/(c^4 c^2 ) ∜((a^2 b^3)/c)=(a^5 b^6)/c^6 ∜((a^2 b^3)/c)

Potencias con exponente racional, se realiza

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